数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

Prim 算法如何构建最小生成树？

  1. A不断删除最贵的边，直到没有环为止
  2. B运行广度优先搜索并保留 BFS 树
  3. C从一个起始顶点开始扩展一棵树，每次加入离开该树的最便宜的边
  4. D把所有边按权重排序，逐条加入，除非会在森林中形成环
2.算法与复杂度困难

关于 P 和 NP，下列哪个说法是正确的？

  1. ANP 表示“not polynomial”（非多项式）
  2. BNP 问题无法被快速验证
  3. CP 中的每个问题也都属于 NP
  4. D已经证明 P ≠ NP
3.数据结构中等

AVL 树和红黑树保证：

  1. A没有节点拥有两个子节点
  2. B在任何情况下查找都是常数时间
  3. C通过再平衡使高度为 O(log n)
  4. D键按插入顺序存储
4.数据结构困难

一个对象作为键存储在哈希映射中，之后其哈希函数所用的一个字段被修改了。可能的结果是什么？

  1. A查找该对象可能失败，因为它位于按旧哈希值确定的桶中
  2. B映射会自动把该键移到新的桶中
  3. C什么都不会改变，因为键的哈希只在程序启动时计算一次
  4. D字段改变的那一刻映射就会抛出错误
5.图论中等
ABCDEF欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 6|E| = 7
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
155517121019ABCDEF

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F
d(F) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · 从一个起始顶点开始扩展一棵树，每次加入离开该树的最便宜的边

为什么是这个答案

Prim 算法用优先队列保存跨越边，使用二叉堆时运行时间为 O(E log V)。

答案

C · 从一个起始顶点开始扩展一棵树，每次加入离开该树的最便宜的边
2.算法与复杂度

答案: C · P 中的每个问题也都属于 NP

为什么是这个答案

P ⊆ NP：如果你能快速解决一个问题，你就能快速验证一个解。P 是否等于 NP 仍是一个未解决的问题。

答案

C · P 中的每个问题也都属于 NP
3.数据结构

答案: C · 通过再平衡使高度为 O(log n)

为什么是这个答案

自平衡树使高度保持对数级，因此查找、插入和删除在最坏情况下都是 O(log n)。

答案

C · 通过再平衡使高度为 O(log n)
4.数据结构

答案: A · 查找该对象可能失败，因为它位于按旧哈希值确定的桶中

为什么是这个答案

键的位置是按其旧哈希值选定的；有了新的哈希值，查找会在错误的桶中搜索，因此键应当是不可变的。

答案

A · 查找该对象可能失败，因为它位于按旧哈希值确定的桶中
5.图论

答案: 有欧拉通路，无回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2

奇度顶点

C, E → 2
有欧拉通路，无回路

答案

有欧拉通路，无回路

欧拉通路从一个奇度顶点出发，在另一个奇度顶点结束。

6.图论

答案: d(F) = 13

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 15, C: 5
C (5): B: 10, E: 12
B (10): D: 11
D (11): F: 21
E (12): F: 13
F (13)

最短路径

A → C → E → F
d(F) = 13

答案

d(F) = 13

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