数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

Prim 算法如何构建最小生成树？

  1. A把所有边按权重排序，逐条加入，除非会在森林中形成环
  2. B运行广度优先搜索并保留 BFS 树
  3. C不断删除最贵的边，直到没有环为止
  4. D从一个起始顶点开始扩展一棵树，每次加入离开该树的最便宜的边
2.算法与复杂度困难

不可判定问题与难解问题有什么区别？

  1. A两者都意味着该问题根本没有算法
  2. B难解问题无法被任何算法求解，而不可判定问题只需要指数时间
  3. C不可判定问题没有任何能处理所有输入的算法，而难解问题有算法，但太慢
  4. D不可判定问题属于 NP，而难解问题属于 P
3.数据结构中等

为什么二叉堆可以不用任何指针而存储在数组中？

  1. A堆中所有的键都相等
  2. B它是完全二叉树，因此位置遵循简单的下标公式
  3. C数组会自动使键保持有序，因此不需要指针
  4. D堆中的元素从不超过 100 个
4.数据结构困难

布隆过滤器（Bloom filter）回答"该元素是否在集合中？"时：

  1. A总是给出精确答案
  2. B可能出现假阳性，但不会出现假阴性
  3. C可能出现假阴性，但不会出现假阳性
  4. D只能回答数字的情况
5.图论中等
ABCDE欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 5|E| = 5
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
723294815613ABCDEFG

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 3 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · 从一个起始顶点开始扩展一棵树，每次加入离开该树的最便宜的边

为什么是这个答案

Prim 算法用优先队列保存跨越边，使用二叉堆时运行时间为 O(E log V)。

答案

D · 从一个起始顶点开始扩展一棵树，每次加入离开该树的最便宜的边
2.算法与复杂度

答案: C · 不可判定问题没有任何能处理所有输入的算法，而难解问题有算法，但太慢

为什么是这个答案

停机问题根本没有算法；TSP 这样的 NP 难问题可以用蛮力法求解，只是没有已知的多项式时间算法。

答案

C · 不可判定问题没有任何能处理所有输入的算法，而难解问题有算法，但太慢
3.数据结构

答案: B · 它是完全二叉树，因此位置遵循简单的下标公式

为什么是这个答案

完全性意味着没有空缺，因此下标 i 的子节点总是位于 2i + 1 和 2i + 2。

答案

B · 它是完全二叉树，因此位置遵循简单的下标公式
4.数据结构

答案: B · 可能出现假阳性，但不会出现假阴性

为什么是这个答案

如果某元素对应的任一位为 0，则它一定不存在；如果全部为 1，则它很可能存在。布隆过滤器以牺牲准确性换取极少的内存占用。

答案

B · 可能出现假阳性，但不会出现假阴性
5.图论

答案: 有欧拉通路，无回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 1

奇度顶点

B, E → 2
有欧拉通路，无回路

答案

有欧拉通路，无回路

欧拉通路从一个奇度顶点出发，在另一个奇度顶点结束。

6.图论

答案: B

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 7, C: 2
2. C (2): B: 5, G: 17
3. B (5): D: 7, G: 13
4. D (7): F: 16
5. G (13): E: 26
6. F (16): E: 20
7. E (20)

轮 3

B

答案

B

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms