数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

下面代码的时间复杂度是多少：for i = 1 to n: for j = 1 to i: 执行 O(1) 的工作？

  1. AO(n³)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.算法与复杂度困难

下列哪个可满足性问题已知可以在多项式时间内求解？

  1. A电路可满足性问题
  2. B3-SAT，每个子句恰好有三个文字
  3. C2-SAT，每个子句至多有两个文字
  4. D合取范式公式上的一般 SAT
3.数据结构中等

在二叉最小堆中，extract-min 是如何工作的？

  1. A删除数组的最后一个元素
  2. B把最后一个元素移到根上，再将其下沉
  3. C在所有叶子中查找新的最小值
  4. D删除根，并把所有元素左移一位
4.数据结构困难

为什么数据库和文件系统中使用 B 树？

  1. A它们比任何数组占用的内存都少，因此整个索引始终可以放进主存
  2. B它们以无序方式存储数据
  3. C它们不需要再平衡
  4. D其较高的分支因子使树保持较浅，从而减少缓慢的磁盘读取
5.图论中等

完全图 K7 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K7
H =
6.图论困难
43101115151333ABCDEF

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 3 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · O(n²)

为什么是这个答案

内层循环体总共执行 n(n + 1) / 2 次，仍然是平方级的。

答案

C · O(n²)
2.算法与复杂度

答案: C · 2-SAT，每个子句至多有两个文字

为什么是这个答案

2-SAT 属于 P（通过强连通分量可在线性时间内求解），而 3-SAT 是 NP 完全的。

答案

C · 2-SAT，每个子句至多有两个文字
3.数据结构

答案: B · 把最后一个元素移到根上，再将其下沉

为什么是这个答案

最后一个元素填补根上的空位，并与其较小的子节点交换，直到满足堆性质，耗时 O(log n)。

答案

B · 把最后一个元素移到根上，再将其下沉
4.数据结构

答案: D · 其较高的分支因子使树保持较浅，从而减少缓慢的磁盘读取

为什么是这个答案

B 树每个节点存储多个键，因此高度很小，每次查找只需读取少量磁盘块；B+ 树还将叶子节点链接起来以支持范围扫描。

答案

D · 其较高的分支因子使树保持较浅，从而减少缓慢的磁盘读取
5.图论

答案: H = 360

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

答案

H = 360
6.图论

答案: B

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 4, C: 3
2. C (3): E: 18
3. B (4): D: 15, E: 7
4. E (7): F: 10
5. F (10)
6. D (15)

轮 3

B

答案

B

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