数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

在活动选择问题中，哪条贪心规则总能得到数量最多的互不重叠的活动？

  1. A选择最早开始的活动
  2. B先选择最短的活动
  3. C先选择与其他活动重叠最少的活动，然后在与之相容的活动中重复这一步
  4. D选择最早结束的活动，然后在与之相容的活动中重复这一步
2.算法与复杂度困难

Cook–Levin 定理确立了什么？

  1. A布尔可满足性问题（SAT）是 NP 完全的
  2. BP 不等于 NP
  3. C每个 NP 问题都能在指数时间内求解
  4. D停机问题是不可判定的
3.数据结构中等

在存储于容量为 n 的数组中的循环队列里，下标 i 之后的下一个位置如何计算？

  1. A2i + 1
  2. B(i + 1) mod n
  3. C(i − 1) mod n
  4. Di + 1
4.数据结构困难

线段树（segment tree）通常用于：

  1. A通过把每个前缀存储在单独的树节点中，按字母顺序对字符串排序
  2. B实现栈
  3. C在 O(log n) 时间内处理区间查询（如区间求和）和更新
  4. D存储图的边
5.图论中等

完全图 K5 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K5
H =
6.图论困难
1451721615173ABCDEFG

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 7|E| = 9
W =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · 选择最早结束的活动，然后在与之相容的活动中重复这一步

为什么是这个答案

选择最早结束时间可以用交换论证证明是最优的；其他规则都有反例。

答案

D · 选择最早结束的活动，然后在与之相容的活动中重复这一步
2.算法与复杂度

答案: A · 布尔可满足性问题（SAT）是 NP 完全的

为什么是这个答案

Cook 和 Levin 各自独立地证明了 NP 中的每个问题都能在多项式时间内归约到 SAT，因此 SAT 是第一个已知的 NP 完全问题。

答案

A · 布尔可满足性问题（SAT）是 NP 完全的
3.数据结构

答案: B · (i + 1) mod n

为什么是这个答案

取模运算把下标 n − 1 回绕到 0，因此数组可以被重复使用而无需移动元素。

答案

B · (i + 1) mod n
4.数据结构

答案: C · 在 O(log n) 时间内处理区间查询（如区间求和）和更新

为什么是这个答案

线段树存储各区间的聚合值，支持在 O(log n) 时间内完成区间查询和单点更新。

答案

C · 在 O(log n) 时间内处理区间查询（如区间求和）和更新
5.图论

答案: H = 12

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

答案

H = 12
6.图论

答案: W = 33

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

DF (1): 取
BD (2): 取
GD (3): 取
AC (5): 取
GC (7): 取
AB (14): 跳过，会形成圈
DE (15): 取

总权重

W = 1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 15 = 33

答案

W = 33

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