数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

在无权图上进行广度优先搜索（BFS）可以求出：

  1. A从起始节点出发、按边数计的最短路径
  2. B所有图的拓扑序
  3. C最小生成树
  4. D含负权重边的图中的最短路径
2.算法与复杂度困难

关于 P 和 NP，下列哪个说法是正确的？

  1. ANP 问题无法被快速验证
  2. B已经证明 P ≠ NP
  3. CNP 表示“not polynomial”（非多项式）
  4. DP 中的每个问题也都属于 NP
3.数据结构中等

AVL 树在每个节点上维持什么平衡条件？

  1. A每个节点的两棵子树包含完全相同数量的节点
  2. B左右子树的高度之差至多为 1
  3. C每个节点都被着成红色或黑色
  4. D所有叶子都恰好位于同一深度
4.数据结构困难

红黑树必须满足哪条性质？

  1. A每个红色节点的子节点必须是红色，因此红色节点总是沿着通向叶子的路径连成不间断的链
  2. B根节点必须是红色
  3. C从任一节点到其所有后代叶子的每条路径上，黑色节点的数量都相同
  4. D每个节点都必须是红色
5.图论中等
ABCDEFG欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 7|E| = 8
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
2114574613ABCDEF

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 4 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · 从起始节点出发、按边数计的最短路径

为什么是这个答案

BFS 按照与源点的距离（边数）顺序访问节点，因此能在 O(V + E) 内求出无权最短路径。

答案

A · 从起始节点出发、按边数计的最短路径
2.算法与复杂度

答案: D · P 中的每个问题也都属于 NP

为什么是这个答案

P ⊆ NP：如果你能快速解决一个问题，你就能快速验证一个解。P 是否等于 NP 仍是一个未解决的问题。

答案

D · P 中的每个问题也都属于 NP
3.数据结构

答案: B · 左右子树的高度之差至多为 1

为什么是这个答案

平衡因子（左子树高度 − 右子树高度）必须为 −1、0 或 1；插入和删除之后通过旋转来恢复平衡。

答案

B · 左右子树的高度之差至多为 1
4.数据结构

答案: C · 从任一节点到其所有后代叶子的每条路径上，黑色节点的数量都相同

为什么是这个答案

红黑树规则：节点为红色或黑色，根为黑色，红色节点的子节点为黑色，所有路径的黑高相同，从而使高度 ≤ 2 log₂(n + 1)。

答案

C · 从任一节点到其所有后代叶子的每条路径上，黑色节点的数量都相同
5.图论

答案: 都不是

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 1, deg(F) = 1, deg(G) = 3

奇度顶点

D, E, F, G → 4
都不是

答案

都不是
6.图论

答案: D

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 2, C: 11
2. B (2): C: 6, D: 7
3. C (6): E: 13
4. D (7): E: 11, F: 13
5. E (11)
6. F (13)

轮 4

D

答案

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms