数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

在边权非负的图中，哪种算法用于求单源最短路径？

  1. AKruskal 算法
  2. B任何情况下都必须使用 Bellman–Ford
  3. C深度优先搜索（DFS）
  4. DDijkstra 算法
2.算法与复杂度困难

用动态规划求解 0/1 背包问题需要 O(nW) 时间。为什么称之为伪多项式（pseudo-polynomial）？

  1. A因为 n 总是很小
  2. B因为该算法是随机化的，其运行时间随每个输入而变化
  3. C因为它只适用于 W = 0
  4. DW 是一个数值，因此运行时间相对于表示 W 所需的位数是指数级的
3.数据结构中等

检查 "{[()]}" 中的括号是否匹配，使用哪种数据结构？

  1. A栈
  2. B队列
  3. C二叉搜索树
  4. D哈希表
4.数据结构困难

与有序链表相比，跳表（skip list）的主要优势是什么？

  1. A保证 O(1) 的查找，因为每个节点都存有指向其他所有节点的指针
  2. B它不占用额外内存
  3. C它以无序方式存储键
  4. D利用多层前向指针，实现期望 O(log n) 的查找
5.图论中等
ABCDE欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 5|E| = 6
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
ABCDEF

从 E 到 A 的长度为 2 的途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 2
N =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · Dijkstra 算法

为什么是这个答案

Dijkstra 算法适用于非负权重；Bellman–Ford 能处理负权重；Kruskal 用于构建最小生成树。

答案

D · Dijkstra 算法
2.算法与复杂度

答案: D · W 是一个数值，因此运行时间相对于表示 W 所需的位数是指数级的

为什么是这个答案

运行时间关于 W 的数值是多项式的，但关于其长度（log W 位）是指数级的；0/1 背包问题是 NP 完全的。

答案

D · W 是一个数值，因此运行时间相对于表示 W 所需的位数是指数级的
3.数据结构

答案: A · 栈

为什么是这个答案

遇到左括号就 push，遇到右括号就 pop；右括号必须与弹出的括号匹配，并且最后栈必须为空。

答案

A · 栈
4.数据结构

答案: D · 利用多层前向指针，实现期望 O(log n) 的查找

为什么是这个答案

随机化的层级使查找能够跳过许多节点，从而使查找、插入和删除的期望时间为 O(log n)。

答案

D · 利用多层前向指针，实现期望 O(log n) 的查找
5.图论

答案: 欧拉回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

奇度顶点

0
欧拉回路

答案

欧拉回路
6.图论

答案: N = 1

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。Kn 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 1 0 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 0 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

公共邻点

(M²)EA = 0·0 + 1·1 + 1·0 + 1·0 + 0·0 + 0·0 = 1

答案

N = 1

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