数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

递推式 T(n) = 2T(n − 1) + O(1) 的解是什么？

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n log n)
2.算法与复杂度困难

下列哪个可满足性问题已知可以在多项式时间内求解？

  1. A3-SAT，每个子句恰好有三个文字
  2. B2-SAT，每个子句至多有两个文字
  3. C合取范式公式上的一般 SAT
  4. D电路可满足性问题
3.数据结构中等

AVL 树在每个节点上维持什么平衡条件？

  1. A每个节点都被着成红色或黑色
  2. B左右子树的高度之差至多为 1
  3. C每个节点的两棵子树包含完全相同数量的节点
  4. D所有叶子都恰好位于同一深度
4.数据结构困难

在简单均匀哈希假设下，在含 n 个键、m 个桶的拉链法哈希表中查找的期望时间是多少？

  1. AO(n)
  2. BO(m)
  3. CO(log n)
  4. DO(1 + α)，其中 α = n / m
5.图论中等

一棵树有 3 个度为 3 的顶点, 2 个度为 5 的顶点, 3 个度为 2 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

3 × deg 32 × deg 53 × deg 2
L =
6.图论困难
1410111522142ABCDEF

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F
d(F) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · O(2ⁿ)

为什么是这个答案

调用次数每深入一层就翻倍，共有 n 层，因此总数约为 2ⁿ，就像汉诺塔问题一样。

答案

C · O(2ⁿ)
2.算法与复杂度

答案: B · 2-SAT，每个子句至多有两个文字

为什么是这个答案

2-SAT 属于 P（通过强连通分量可在线性时间内求解），而 3-SAT 是 NP 完全的。

答案

B · 2-SAT，每个子句至多有两个文字
3.数据结构

答案: B · 左右子树的高度之差至多为 1

为什么是这个答案

平衡因子（左子树高度 − 右子树高度）必须为 −1、0 或 1；插入和删除之后通过旋转来恢复平衡。

答案

B · 左右子树的高度之差至多为 1
4.数据结构

答案: D · O(1 + α)，其中 α = n / m

为什么是这个答案

计算哈希的代价是 O(1)，链的期望长度为 α，因此通过扩容使 α 有界，就能得到 O(1) 的期望时间。

答案

D · O(1 + α)，其中 α = n / m
5.图论

答案: L = 11

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 25 = 2(L + 8) − 2
L = 11

答案

L = 11

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: d(F) = 20

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 14, C: 10
C (10)
B (14): D: 29, E: 16
E (16): D: 18, F: 30
D (18): F: 20
F (20)

最短路径

A → B → E → D → F
d(F) = 20

答案

d(F) = 20

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