数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

快速排序总是使用第一个元素作为基准。它在哪种输入上表现出最坏情况？

  1. A已经有序的数组
  2. B所有元素都不相同的数组
  3. C长度为 2 的数组
  4. D随机顺序的数组
2.算法与复杂度困难

在有 V 个顶点、E 条边的图上，使用二叉堆的 Dijkstra 算法运行时间是多少？

  1. AO(V³)
  2. BO((V + E) log V)
  3. CO(V × E)
  4. DO(V + E)
3.数据结构中等

在从下标 0 开始存储于数组中的二叉堆里，下标为 i 的节点的父节点在哪里？

  1. A下标 ⌊(i − 1) / 2⌋
  2. B下标 2i + 1
  3. C下标 i − 1
  4. D下标 ⌊i / 2⌋ + 1
4.数据结构困难

你必须用 O(k) 的内存从 n 个数的数据流中保留最小的 k 个值。哪种方法能在 O(n log k) 时间内完成？

  1. A一个大小为 k 的最大堆，当出现更小的值时替换其根
  2. B一个保存全部 n 个值的最小堆，最后从中弹出 k 个最小值
  3. C一个保存最后 k 个值的 FIFO 队列
  4. D一个包含全部 n 个值的有序数组
5.图论中等
ABCDEFG欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 7|E| = 10
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
913631815ABCDE

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 5|E| = 7
W =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · 已经有序的数组

为什么是这个答案

在有序输入上，基准总是最小值，因此一侧为空，另一侧有 n − 1 个元素，结果为 O(n²)。

答案

A · 已经有序的数组
2.算法与复杂度

答案: B · O((V + E) log V)

为什么是这个答案

共有 V 次 extract-min 和至多 E 次 decrease-key 操作，每次为 O(log V)；斐波那契堆可将其改进为 O(E + V log V)。

答案

B · O((V + E) log V)
3.数据结构

答案: A · 下标 ⌊(i − 1) / 2⌋

为什么是这个答案

i 的子节点位于 2i + 1 和 2i + 2，因此 i 的父节点位于 ⌊(i − 1) / 2⌋；若下标从 1 开始，则为 ⌊i / 2⌋。

答案

A · 下标 ⌊(i − 1) / 2⌋
4.数据结构

答案: A · 一个大小为 k 的最大堆，当出现更小的值时替换其根

为什么是这个答案

最大堆的根是所保留值中最大的；任何更小的新值都以 O(log k) 替换它，因此堆中始终保存着迄今为止最小的 k 个值。

答案

A · 一个大小为 k 的最大堆，当出现更小的值时替换其根
5.图论

答案: 都不是

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 1, deg(G) = 3

奇度顶点

C, D, F, G → 4
都不是

答案

都不是
6.图论

答案: W = 19

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

CE (1): 取
BD (3): 取
BC (6): 取
DE (8): 跳过，会形成圈
AB (9): 取

总权重

W = 1 + 3 + 6 + 9 = 19

答案

W = 19

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