数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

在一个有序数组中，你从两端各放一个指针向内移动，寻找和为目标值的两个元素。时间复杂度是多少？

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.算法与复杂度困难

关于类 P 的哪个定义是正确的？

  1. A能够并行求解的问题
  2. B其解可以被验证、但绝不能在多项式时间内找到的问题
  3. C在每台计算机上都需要指数时间的问题
  4. D能由确定性算法在多项式时间内求解的判定问题
3.数据结构中等

在用数组存储的二叉最小堆（索引从 0 开始）中，索引为 i 的节点的子节点位于：

  1. Ai + 1 和 i + 2
  2. B2i + 1 和 2i + 2
  3. Ci/2 和 i/2 + 1
  4. D2i 和 2i + 1
4.数据结构困难

采用按秩合并（union by rank）和路径压缩（path compression）的并查集（union-find，不相交集合），每次操作的均摊代价为：

  1. AO(n)
  2. BO(α(n))，即反阿克曼函数，实际上可视为常数
  3. CO(n²)
  4. D恰好 O(log n)
5.图论中等

一个连通图有 18 个顶点和 29 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 18|E| = 29
k =
6.图论困难
31261171814ABCDE

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 5|E| = 7
W =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · O(n)

为什么是这个答案

如果和太小，左指针右移；如果和太大，右指针左移，因此最多 n 步。

答案

D · O(n)
2.算法与复杂度

答案: D · 能由确定性算法在多项式时间内求解的判定问题

为什么是这个答案

P 包含具有确定性多项式时间算法的判定问题，例如检查一个图是否连通。

答案

D · 能由确定性算法在多项式时间内求解的判定问题
3.数据结构

答案: B · 2i + 1 和 2i + 2

为什么是这个答案

对于从 0 开始的数组，左子节点位于 2i + 1，右子节点位于 2i + 2，父节点位于 ⌊(i − 1)/2⌋。

答案

B · 2i + 1 和 2i + 2
4.数据结构

答案: B · O(α(n))，即反阿克曼函数，实际上可视为常数

为什么是这个答案

同时使用两种优化后，操作的均摊时间为 O(α(n))；对于任何实际的 n，α(n) ≤ 4。

答案

B · O(α(n))，即反阿克曼函数，实际上可视为常数
5.图论

答案: k = 12

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

18 − 1 = 17

要去掉的边数

k = 29 − 17 = 12

答案

k = 12
6.图论

答案: W = 24

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

BD (1): 取
AB (3): 取
BC (6): 取
AC (12): 跳过，会形成圈
BE (14): 取

总权重

W = 1 + 3 + 6 + 14 = 24

答案

W = 24

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