数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

说一个 O(n²) 算法也是 O(n³)，这正确吗？

  1. A正确，但仅当 n 小于 100 时
  2. B正确，因为 Big O 是上界，而 n² 的增长不比 n³ 快
  3. C不正确，因为当 n 很大时 n³ 小于 n²
  4. D不正确，因为 Big O 必须始终给出函数的确切增长率
2.算法与复杂度困难

关于 log(n!)，哪个界是正确的？

  1. AΘ(n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(log n)
  4. DΘ(n log n)
3.数据结构中等

在字母表固定的字典树中查找一个长度为 L 的单词需要多长时间？

  1. AO(log n)，其中 n 是单词个数
  2. BO(L)，与存储了多少个单词无关
  3. CO(L × n)
  4. DO(n)，其中 n 是单词个数
4.数据结构困难

红黑树的规则对含 n 个键的树的高度给出了什么保证？

  1. A高度至多为 2 log2(n + 1)
  2. B高度至多为 log2 n + 1
  3. C高度至多为 n / 2
  4. D高度恰好为 log2 n
5.图论中等
ABCDEFG欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 7|E| = 9
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
586114151313ABCDEF

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 4 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · 正确，因为 Big O 是上界，而 n² 的增长不比 n³ 快

为什么是这个答案

Big O 是上界，因此这个说法是对的，但不是紧确的；Θ(n²) 给出的才是确切的增长率。

答案

B · 正确，因为 Big O 是上界，而 n² 的增长不比 n³ 快
2.算法与复杂度

答案: D · Θ(n log n)

为什么是这个答案

log(n!) ≤ n log n，而最大的 n / 2 个因子给出 log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2)；这就是比较排序需要 Ω(n log n) 的原因。

答案

D · Θ(n log n)
3.数据结构

答案: B · O(L)，与存储了多少个单词无关

为什么是这个答案

每个字符选择一个子节点，因此无论字典树中有多少单词，一次查找都只需 L 步。

答案

B · O(L)，与存储了多少个单词无关
4.数据结构

答案: A · 高度至多为 2 log2(n + 1)

为什么是这个答案

每条路径上的黑色节点数相同，且红色节点不能相邻，因此最长路径至多是最短路径的两倍，从而高度为 O(log n)。

答案

A · 高度至多为 2 log2(n + 1)
5.图论

答案: 都不是

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 4, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 4

奇度顶点

A, B, E, F → 4
都不是

答案

都不是
6.图论

答案: C

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 5
2. B (5): C: 13, D: 11, E: 18
3. D (11): E: 15, F: 26
4. C (13)
5. E (15)
6. F (26)

轮 4

C

答案

C

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