数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

当问题具有以下特征时，动态规划（dynamic programming）很有用：

  1. A重叠子问题和最优子结构
  2. B只有一个循环
  3. C只有随机输入
  4. D完全没有子问题，因此一步就能解决
2.算法与复杂度困难

为什么在有序数组中任何基于比较的查找在最坏情况下都需要 Ω(log n) 次比较？

  1. A每个元素都必须至少比较一次
  2. B每次比较都需要对数时间
  3. C有 n 种可能结果的决策树，其深度至少为 log₂ n
  4. D二分查找是唯一可能的算法，它需要 log₂ n 次比较
3.数据结构中等

一个应用需要快速查找，还需要按有序顺序列出键并回答范围查询。哪种结构最合适？

  1. A栈
  2. B无序链表
  3. C哈希表
  4. D平衡二叉搜索树
4.数据结构困难

在使用开放寻址法的哈希表中，为什么删除操作常用"墓碑"（tombstone）标记？

  1. A墓碑可以加快哈希计算
  2. B它能使表变得有序
  3. C出于安全考虑，被删除的键必须永久保留，因此槽位永远不能重用
  4. D清空槽位可能会破坏其他键的探测序列
5.图论中等

一棵树有 2 个度为 5 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

2 × deg 5
L =
6.图论困难
4439761215346ABCDEFG

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F
d(F) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · 重叠子问题和最优子结构

为什么是这个答案

存储重叠子问题的结果（记忆化或制表）可以避免重复计算，把指数时间算法变成多项式时间算法。

答案

A · 重叠子问题和最优子结构
2.算法与复杂度

答案: C · 有 n 种可能结果的决策树，其深度至少为 log₂ n

为什么是这个答案

每次比较至多把剩余的可能性减半，因此要区分 n 个位置至少需要 log₂ n 次比较。

答案

C · 有 n 种可能结果的决策树，其深度至少为 log₂ n
3.数据结构

答案: D · 平衡二叉搜索树

为什么是这个答案

平衡 BST 提供 O(log n) 的查找并使键保持有序，因此中序遍历和范围查询都很容易；哈希表则把键打散存放。

答案

D · 平衡二叉搜索树
4.数据结构

答案: D · 清空槽位可能会破坏其他键的探测序列

为什么是这个答案

如果被删除的槽位变为空，之后的查找可能会提前停止，从而漏掉探测链中更靠后的键。

答案

D · 清空槽位可能会破坏其他键的探测序列
5.图论

答案: L = 8

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 10 = 2(L + 2) − 2
L = 8

答案

L = 8

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: d(F) = 17

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 4, C: 4
B (4): D: 13, G: 19
C (4): G: 7
G (7): D: 11, E: 13
D (11): F: 17
E (13)
F (17)

最短路径

A → C → G → D → F
d(F) = 17

答案

d(F) = 17

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