数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

递推式 T(n) = T(n − 1) + O(n) 的解是什么？

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(2ⁿ)
2.算法与复杂度困难

哪种算法通过反复加入不会形成环的最便宜的边来求最小生成树？

  1. AKruskal 算法
  2. B从一个节点出发的 Prim 算法
  3. CDijkstra 算法
  4. DFloyd–Warshall
3.数据结构中等

运行中的程序使用哪种数据结构来记录活动的函数调用及其局部变量？

  1. A由函数组成的哈希表
  2. B堆内存队列
  3. C由栈帧组成的二叉搜索树
  4. D调用栈
4.数据结构困难

在使用开放寻址法的哈希表中，为什么删除操作常用"墓碑"（tombstone）标记？

  1. A墓碑可以加快哈希计算
  2. B清空槽位可能会破坏其他键的探测序列
  3. C它能使表变得有序
  4. D出于安全考虑，被删除的键必须永久保留，因此槽位永远不能重用
5.图论中等

完全图 K7 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K7
H =
6.图论困难
ABCDEF

长度为 2 且起点和终点都是 F 的闭途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 2
N =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · O(n²)

为什么是这个答案

工作量之和约为 n² / 2，这是选择排序的递推式，也是基准最差时快速排序的递推式。

答案

A · O(n²)
2.算法与复杂度

答案: A · Kruskal 算法

为什么是这个答案

Kruskal 按权重对边排序，若一条边连接不同的连通分量就加入它；Prim 则从一个起始顶点开始扩展一棵树。

答案

A · Kruskal 算法
3.数据结构

答案: D · 调用栈

为什么是这个答案

每次调用压入一个栈帧，每次返回弹出一个栈帧，这就是最近的调用最先结束的原因。

答案

D · 调用栈
4.数据结构

答案: B · 清空槽位可能会破坏其他键的探测序列

为什么是这个答案

如果被删除的槽位变为空，之后的查找可能会提前停止，从而漏掉探测链中更靠后的键。

答案

B · 清空槽位可能会破坏其他键的探测序列
5.图论

答案: H = 360

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

答案

H = 360
6.图论

答案: N = 2

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。Kn 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 1 0 0 0 0
B: 1 0 1 0 1 0
C: 0 1 0 0 1 0
D: 0 0 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

公共邻点

(M²)FF = 0·0 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 2

答案

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms