数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

用自底向上的表格计算第 n 个斐波那契数，时间复杂度是多少？

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.算法与复杂度困难

用一个只保留最后两个值的循环计算第 n 个斐波那契数，时间和空间代价各是多少？

  1. AO(log n) 时间和 O(n) 空间
  2. BO(2ⁿ) 时间和 O(1) 空间
  3. CO(n) 时间和 O(1) 空间
  4. DO(n) 时间和 O(n) 空间
3.数据结构中等

AVL 树在每个节点上维持什么平衡条件？

  1. A每个节点都被着成红色或黑色
  2. B每个节点的两棵子树包含完全相同数量的节点
  3. C左右子树的高度之差至多为 1
  4. D所有叶子都恰好位于同一深度
4.数据结构困难

原地反转一个单链表的时间和额外空间代价各是多少？

  1. AO(1) 时间和 O(1) 额外空间
  2. BO(n) 时间和 O(n) 额外空间
  3. CO(n) 时间和 O(1) 额外空间
  4. DO(n log n) 时间和 O(1) 额外空间
5.图论中等
ABCDE欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 5|E| = 6
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
ABCDE

长度为 2 且起点和终点都是 D 的闭途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 2
N =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · O(n)

为什么是这个答案

从 0 到 n 填表时每项只需一次加法，因此工作量是线性的，而不是指数级的。

答案

B · O(n)
2.算法与复杂度

答案: C · O(n) 时间和 O(1) 空间

为什么是这个答案

每一步只需要前两个值，因此自底向上方法中的表格可以用两个变量代替。

答案

C · O(n) 时间和 O(1) 空间
3.数据结构

答案: C · 左右子树的高度之差至多为 1

为什么是这个答案

平衡因子（左子树高度 − 右子树高度）必须为 −1、0 或 1；插入和删除之后通过旋转来恢复平衡。

答案

C · 左右子树的高度之差至多为 1
4.数据结构

答案: C · O(n) 时间和 O(1) 额外空间

为什么是这个答案

保持三个指针（previous、current、next），就可以在一次遍历中反转每个链接，而无需分配新节点。

答案

C · O(n) 时间和 O(1) 额外空间
5.图论

答案: 有欧拉通路，无回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 2

奇度顶点

C, D → 2
有欧拉通路，无回路

答案

有欧拉通路，无回路

欧拉通路从一个奇度顶点出发，在另一个奇度顶点结束。

6.图论

答案: N = 2

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。Kn 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 0 1 0 0
B: 0 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

公共邻点

(M²)DD = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 2

答案

N = 2

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