数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

递推式 T(n) = 2T(n/2) + O(n) 的解是：

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.算法与复杂度困难

哪种算法通过反复加入不会形成环的最便宜的边来求最小生成树？

  1. AKruskal 算法
  2. B从一个节点出发的 Prim 算法
  3. CFloyd–Warshall
  4. DDijkstra 算法
3.数据结构中等

如何在二叉搜索树中找到最小的键？

  1. A访问每个叶子并进行比较
  2. B从根开始沿左子节点走，直到没有左子节点为止
  3. C从根开始沿右子节点走，直到没有右子节点为止
  4. D只看根
4.数据结构困难

线段树（segment tree）通常用于：

  1. A实现栈
  2. B通过把每个前缀存储在单独的树节点中，按字母顺序对字符串排序
  3. C存储图的边
  4. D在 O(log n) 时间内处理区间查询（如区间求和）和更新
5.图论中等

完全图 K6 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K6
H =
6.图论困难
ABCDE

长度为 3 且起点和终点都是 B 的闭途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 3
N =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · O(n log n)

为什么是这个答案

根据主定理（master theorem）（a = 2, b = 2, f(n) = n），T(n) = Θ(n log n)。

答案

B · O(n log n)
2.算法与复杂度

答案: A · Kruskal 算法

为什么是这个答案

Kruskal 按权重对边排序，若一条边连接不同的连通分量就加入它；Prim 则从一个起始顶点开始扩展一棵树。

答案

A · Kruskal 算法
3.数据结构

答案: B · 从根开始沿左子节点走，直到没有左子节点为止

为什么是这个答案

树中没有比最左节点更小的键，因此它就是最小值；代价与树的高度成正比。

答案

B · 从根开始沿左子节点走，直到没有左子节点为止
4.数据结构

答案: D · 在 O(log n) 时间内处理区间查询（如区间求和）和更新

为什么是这个答案

线段树存储各区间的聚合值，支持在 O(log n) 时间内完成区间查询和单点更新。

答案

D · 在 O(log n) 时间内处理区间查询（如区间求和）和更新
5.图论

答案: H = 60

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

答案

H = 60
6.图论

答案: N = 6

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。Kn 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

再走一步

(M³)BB = 1·1 + 4·0 + 2·1 + 1·1 + 2·1 = 6

答案

N = 6

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