数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

递推式 T(n) = 2T(n/2) + O(n) 的解是：

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
2.算法与复杂度困难

一个问题是 NP 完全（NP-complete）的，当且仅当它：

  1. A不可能被解决
  2. B可以在多项式时间内解决
  3. C不属于 NP，但比所有 NP 问题都难，例如停机问题
  4. D属于 NP，且所有 NP 问题都能在多项式时间内归约到它
3.数据结构中等

如何在二叉搜索树中找到最小的键？

  1. A从根开始沿左子节点走，直到没有左子节点为止
  2. B访问每个叶子并进行比较
  3. C从根开始沿右子节点走，直到没有右子节点为止
  4. D只看根
4.数据结构困难

红黑树的规则对含 n 个键的树的高度给出了什么保证？

  1. A高度恰好为 log2 n
  2. B高度至多为 n / 2
  3. C高度至多为 log2 n + 1
  4. D高度至多为 2 log2(n + 1)
5.图论中等

一个连通图有 20 个顶点和 26 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 20|E| = 26
k =
6.图论困难
ABCDE

从 A 到 B 的长度为 2 的途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 2
N =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · O(n log n)

为什么是这个答案

根据主定理（master theorem）（a = 2, b = 2, f(n) = n），T(n) = Θ(n log n)。

答案

D · O(n log n)
2.算法与复杂度

答案: D · 属于 NP，且所有 NP 问题都能在多项式时间内归约到它

为什么是这个答案

NP 完全问题是 NP 中最难的问题；只要其中一个有多项式算法，整个 NP 就都有多项式算法。

答案

D · 属于 NP，且所有 NP 问题都能在多项式时间内归约到它
3.数据结构

答案: A · 从根开始沿左子节点走，直到没有左子节点为止

为什么是这个答案

树中没有比最左节点更小的键，因此它就是最小值；代价与树的高度成正比。

答案

A · 从根开始沿左子节点走，直到没有左子节点为止
4.数据结构

答案: D · 高度至多为 2 log2(n + 1)

为什么是这个答案

每条路径上的黑色节点数相同，且红色节点不能相邻，因此最长路径至多是最短路径的两倍，从而高度为 O(log n)。

答案

D · 高度至多为 2 log2(n + 1)
5.图论

答案: k = 7

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

20 − 1 = 19

要去掉的边数

k = 26 − 19 = 7

答案

k = 7
6.图论

答案: N = 1

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。Kn 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

公共邻点

(M²)AB = 0·1 + 1·0 + 1·1 + 0·1 + 0·1 = 1

答案

N = 1

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