数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

说一个 O(n²) 算法也是 O(n³)，这正确吗？

  1. A不正确，因为当 n 很大时 n³ 小于 n²
  2. B正确，但仅当 n 小于 100 时
  3. C不正确，因为 Big O 必须始终给出函数的确切增长率
  4. D正确，因为 Big O 是上界，而 n² 的增长不比 n³ 快
2.算法与复杂度困难

关于类 NP 的哪个定义是正确的？

  1. A任何算法都无法求解的问题
  2. B非多项式的问题
  3. C不能在多项式时间内求解的问题
  4. D给定证书时，其"是"答案能在多项式时间内验证的判定问题
3.数据结构中等

字典树（Trie，前缀树）特别适合用于：

  1. A对数字排序
  2. B存储矩阵
  3. C求最短路径
  4. D自动补全等前缀查找
4.数据结构困难

要使哈希表正确工作，哈希与相等性必须遵守哪条规则？

  1. A哈希值相等意味着键相等
  2. B哈希值必须是素数
  3. C相等的键必须具有相等的哈希值
  4. D不同的键必须具有不同的哈希值
5.图论中等
ABCDEF欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 6|E| = 8
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
3613420121ABCDE

克鲁斯卡尔算法构造最小生成树。点选它加入的第 3 条边；被跳过的边不计。

k = 3
  1. 1边 AB
  2. 2边 AC
  3. 3边 BC
  4. 4边 BD
  5. 5边 CE
  6. 6边 DE
  7. 7边 BE

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · 正确，因为 Big O 是上界，而 n² 的增长不比 n³ 快

为什么是这个答案

Big O 是上界，因此这个说法是对的，但不是紧确的；Θ(n²) 给出的才是确切的增长率。

答案

D · 正确，因为 Big O 是上界，而 n² 的增长不比 n³ 快
2.算法与复杂度

答案: D · 给定证书时，其"是"答案能在多项式时间内验证的判定问题

为什么是这个答案

对于 NP 问题，一个候选解（证书）可以被快速检验，例如验证给定的赋值是否满足一个布尔公式。

答案

D · 给定证书时，其"是"答案能在多项式时间内验证的判定问题
3.数据结构

答案: D · 自动补全等前缀查找

为什么是这个答案

字典树沿路径按字符存储字符串，因此查找和前缀查询的时间与键的长度成正比。

答案

D · 自动补全等前缀查找
4.数据结构

答案: C · 相等的键必须具有相等的哈希值

为什么是这个答案

如果两个相等的键哈希值不同，它们就会被存储在不同的桶中，查找就会失败；不相等的键仍然可以共用一个哈希值。

答案

C · 相等的键必须具有相等的哈希值
5.图论

答案: 都不是

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1

奇度顶点

C, D, E, F → 4
都不是

答案

都不是
6.图论

答案: 边 BD

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

1. BE (1)
2. AB (3)
3. BD (4)
4. AC (6)

边的序号 3

BD

答案

边 BD

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