数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

对于在满时将容量翻倍的动态数组，追加元素的均摊（amortised）时间复杂度是多少？

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
2.算法与复杂度困难

要证明一个新问题 X 是 NP 难（NP-hard）的，必须做什么？

  1. A把一个已知的 NP 难问题在多项式时间内归约到 X
  2. B证明 X 对于小规模输入没有多项式算法
  3. C把 X 在多项式时间内归约到一个已知的 NP 难问题
  4. D证明 X 能在多项式时间内被验证
3.数据结构中等

使用邻接矩阵检查边 (u, v) 是否存在需要多长时间？

  1. AO(log V)
  2. BO(E)
  3. CO(V)
  4. DO(1)
4.数据结构困难

关于堆排序，下列哪个说法是正确的？

  1. A它是稳定的，并且需要 O(n) 的额外内存
  2. B它在任何输入上都以 O(n) 时间运行
  3. C它需要一棵二叉搜索树作为额外存储，因此使用 O(n) 的额外内存
  4. D它在最坏情况下以 O(n log n) 时间原地排序，但不稳定
5.图论中等

一棵树有 4 个度为 3 的顶点, 3 个度为 5 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

4 × deg 33 × deg 5
L =
6.图论困难
122961410133ABCDEFG

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F
d(F) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · O(1)

为什么是这个答案

只有在元素个数达到 2 的幂时才会复制全部元素；将其分摊到所有追加操作上，每次追加的平均代价是常数。

答案

C · O(1)
2.算法与复杂度

答案: A · 把一个已知的 NP 难问题在多项式时间内归约到 X

为什么是这个答案

如果一个已知的难题能被高效地转换为 X，那么 X 的快速算法也能解决这个已知问题。

答案

A · 把一个已知的 NP 难问题在多项式时间内归约到 X
3.数据结构

答案: D · O(1)

为什么是这个答案

第 u 行第 v 列的元素立即告诉你该边是否存在；邻接表则可能需要扫描 u 的邻居。

答案

D · O(1)
4.数据结构

答案: D · 它在最坏情况下以 O(n log n) 时间原地排序，但不稳定

为什么是这个答案

堆排序先建立最大堆，然后在同一个数组内提取最大值 n 次；远距离的交换可能打乱相等键的顺序。

答案

D · 它在最坏情况下以 O(n log n) 时间原地排序，但不稳定
5.图论

答案: L = 15

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 27 = 2(L + 7) − 2
L = 15

答案

L = 15

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: d(F) = 19

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 1, C: 2
B (1): G: 15
C (2): E: 4, G: 12
E (4): D: 13, G: 7
G (7)
D (13): F: 19
F (19)

最短路径

A → C → E → D → F
d(F) = 19

答案

d(F) = 19

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