数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

用自底向上的表格计算第 n 个斐波那契数，时间复杂度是多少？

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(2ⁿ)
2.算法与复杂度困难

要证明一个新问题 X 是 NP 难（NP-hard）的，必须做什么？

  1. A把一个已知的 NP 难问题在多项式时间内归约到 X
  2. B证明 X 能在多项式时间内被验证
  3. C证明 X 对于小规模输入没有多项式算法
  4. D把 X 在多项式时间内归约到一个已知的 NP 难问题
3.数据结构中等

AVL 树在每个节点上维持什么平衡条件？

  1. A左右子树的高度之差至多为 1
  2. B所有叶子都恰好位于同一深度
  3. C每个节点的两棵子树包含完全相同数量的节点
  4. D每个节点都被着成红色或黑色
4.数据结构困难

为什么服务器可能会从一个通用哈希函数族中随机选择其哈希函数？

  1. A使哈希表有序
  2. B免去对表进行扩容的需要
  3. C使攻击者极难选出许多全部发生冲突的键
  4. D保证任何两个键永远不会发生冲突，无论攻击者发送什么键
5.图论中等

一个连通图有 18 个顶点和 26 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 18|E| = 26
k =
6.图论困难
15111820461101612ABCDEFG

克鲁斯卡尔算法构造最小生成树。点选它加入的第 5 条边；被跳过的边不计。

k = 5
  1. 1边 AB
  2. 2边 BC
  3. 3边 BD
  4. 4边 CE
  5. 5边 DE
  6. 6边 DF
  7. 7边 EF
  8. 8边 GB
  9. 9边 GD
  10. 10边 GE

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · O(n)

为什么是这个答案

从 0 到 n 填表时每项只需一次加法，因此工作量是线性的，而不是指数级的。

答案

C · O(n)
2.算法与复杂度

答案: A · 把一个已知的 NP 难问题在多项式时间内归约到 X

为什么是这个答案

如果一个已知的难题能被高效地转换为 X，那么 X 的快速算法也能解决这个已知问题。

答案

A · 把一个已知的 NP 难问题在多项式时间内归约到 X
3.数据结构

答案: A · 左右子树的高度之差至多为 1

为什么是这个答案

平衡因子（左子树高度 − 右子树高度）必须为 −1、0 或 1；插入和删除之后通过旋转来恢复平衡。

答案

A · 左右子树的高度之差至多为 1
4.数据结构

答案: C · 使攻击者极难选出许多全部发生冲突的键

为什么是这个答案

使用通用哈希时，对于任何键集合，冲突的期望次数都很小，因为攻击者不知道选择的是哪个函数。

答案

C · 使攻击者极难选出许多全部发生冲突的键
5.图论

答案: k = 9

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

18 − 1 = 17

要去掉的边数

k = 26 − 17 = 9

答案

k = 9
6.图论

答案: 边 GE

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

1. EF (1)
2. DE (4)
3. GB (10)
4. BC (11)
5. GE (12)
6. AB (15)

边的序号 5

GE

答案

边 GE

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