数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

关于一个没有可达基本情况的递归函数，下列哪个说法是正确的？

  1. A它会不断调用自身，直到调用栈溢出
  2. B它的运行时间为 O(1)
  3. C它会自动返回 0
  4. D编译器总会把它变成能安全结束的循环
2.算法与复杂度困难

关于 P 和 NP，下列哪个说法是正确的？

  1. ANP 问题无法被快速验证
  2. BP 中的每个问题也都属于 NP
  3. C已经证明 P ≠ NP
  4. DNP 表示“not polynomial”（非多项式）
3.数据结构中等

在从下标 0 开始存储于数组中的二叉堆里，下标为 i 的节点的父节点在哪里？

  1. A下标 ⌊(i − 1) / 2⌋
  2. B下标 i − 1
  3. C下标 2i + 1
  4. D下标 ⌊i / 2⌋ + 1
4.数据结构困难

伸展树（splay tree）在每次访问之后做什么？

  1. A把被访问的节点移到叶子
  2. B把整棵树重建成平衡形式
  3. C对查找路径上的节点重新着色
  4. D通过旋转把被访问的节点移到根
5.图论中等

一棵树有 4 个度为 4 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

4 × deg 4
L =
6.图论困难
16177156111489ABCDEFG

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 7|E| = 10
W =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · 它会不断调用自身，直到调用栈溢出

为什么是这个答案

没有基本情况，递归就永远不会停止；实际上栈帧所需的内存会耗尽，程序随之崩溃。

答案

A · 它会不断调用自身，直到调用栈溢出
2.算法与复杂度

答案: B · P 中的每个问题也都属于 NP

为什么是这个答案

P ⊆ NP：如果你能快速解决一个问题，你就能快速验证一个解。P 是否等于 NP 仍是一个未解决的问题。

答案

B · P 中的每个问题也都属于 NP
3.数据结构

答案: A · 下标 ⌊(i − 1) / 2⌋

为什么是这个答案

i 的子节点位于 2i + 1 和 2i + 2，因此 i 的父节点位于 ⌊(i − 1) / 2⌋；若下标从 1 开始，则为 ⌊i / 2⌋。

答案

A · 下标 ⌊(i − 1) / 2⌋
4.数据结构

答案: D · 通过旋转把被访问的节点移到根

为什么是这个答案

伸展操作通过旋转把被访问的节点移到根；单次操作可能代价为 O(n)，但均摊代价为 O(log n)。

答案

D · 通过旋转把被访问的节点移到根
5.图论

答案: L = 10

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 16 = 2(L + 4) − 2
L = 10

答案

L = 10

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: W = 42

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

GB (1): 取
GC (4): 取
DF (6): 取
CE (7): 取
GD (8): 取
GE (9): 跳过，会形成圈
EF (11): 跳过，会形成圈
DE (15): 跳过，会形成圈
AB (16): 取

总权重

W = 1 + 4 + 6 + 7 + 8 + 16 = 42

答案

W = 42

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms