数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

对 n 个元素的数组进行归并排序，递归共有多少层？

  1. A约 log₂ n 层
  2. B约 n 层
  3. C约 n / 2 层
  4. D约 √n 层
2.算法与复杂度困难

关于 P 和 NP，下列哪个说法是正确的？

  1. AP 中的每个问题也都属于 NP
  2. BNP 表示“not polynomial”（非多项式）
  3. CNP 问题无法被快速验证
  4. D已经证明 P ≠ NP
3.数据结构中等

字典树（Trie，前缀树）特别适合用于：

  1. A自动补全等前缀查找
  2. B存储矩阵
  3. C对数字排序
  4. D求最短路径
4.数据结构困难

在没有按秩合并和路径压缩的情况下，含 n 个元素的并查集结构中一次 find 操作的最坏代价是多少？

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(α(n))
  4. DO(log n)
5.图论中等

一个连通图有 11 个顶点和 15 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 11|E| = 15
k =
6.图论困难
153104117915ABCDEF

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 5 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · 约 log₂ n 层

为什么是这个答案

从 n 减半到 1 大约需要 log₂ n 层，每层做 O(n) 的合并工作，因此总复杂度为 O(n log n)。

答案

A · 约 log₂ n 层
2.算法与复杂度

答案: A · P 中的每个问题也都属于 NP

为什么是这个答案

P ⊆ NP：如果你能快速解决一个问题，你就能快速验证一个解。P 是否等于 NP 仍是一个未解决的问题。

答案

A · P 中的每个问题也都属于 NP
3.数据结构

答案: A · 自动补全等前缀查找

为什么是这个答案

字典树沿路径按字符存储字符串，因此查找和前缀查询的时间与键的长度成正比。

答案

A · 自动补全等前缀查找
4.数据结构

答案: A · O(n)

为什么是这个答案

朴素的合并可能把树连成一条长链，因此 find 可能要沿着 n − 1 个父指针走；这两种启发式方法使其接近常数。

答案

A · O(n)
5.图论

答案: k = 5

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

11 − 1 = 10

要去掉的边数

k = 15 − 10 = 5

答案

k = 5
6.图论

答案: D

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 15, C: 3
2. C (3): B: 13, E: 14
3. B (13): D: 17
4. E (14): F: 23
5. D (17)
6. F (23)

轮 5

D

答案

D

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