数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

递推式 T(n) = T(n/2) + O(1) 的解是什么？

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
2.算法与复杂度困难

插入排序在有序输入上运行时间为 O(n)。这与比较排序的 Ω(n log n) 下界矛盾吗？

  1. A不矛盾，下界针对的是所有输入中的最坏情况，而不是每一个输入
  2. B矛盾，但仅对长度小于 100 的数组
  3. C不矛盾，因为插入排序不是比较排序
  4. D矛盾，因此这个下界是错的
3.数据结构中等

二叉搜索树中的某个节点有右子树。它的中序后继在哪里？

  1. A总是它的右子节点
  2. B总是它的父节点
  3. C其左子树中最右边的节点
  4. D其右子树中最左边的节点
4.数据结构困难

如何只用 O(1) 的额外内存检测一个单链表中是否有环？

  1. A让一个指针每次走一步，另一个每次走两步，检查它们是否相遇
  2. B对链表排序并寻找重复元素
  3. C把每个访问过的节点存入一个哈希集合
  4. D计数节点，直到计数超过链表的长度字段
5.图论中等

一个连通图有 6 个顶点和 7 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 6|E| = 7
k =
6.图论困难
171318367ABCDE

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 5|E| = 7
W =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · O(log n)

为什么是这个答案

问题规模每一步减半，每步的工作量是常数，因此大约有 log₂ n 步。

答案

B · O(log n)
2.算法与复杂度

答案: A · 不矛盾，下界针对的是所有输入中的最坏情况，而不是每一个输入

为什么是这个答案

该下界是说，每种比较排序在某个规模为 n 的输入上都需要大约 n log n 次比较；特殊的输入可能快得多。

答案

A · 不矛盾，下界针对的是所有输入中的最坏情况，而不是每一个输入
3.数据结构

答案: D · 其右子树中最左边的节点

为什么是这个答案

所有比该节点大且与之相近的键都在它的右子树中，其中最小的就是那里最左边的节点。

答案

D · 其右子树中最左边的节点
4.数据结构

答案: A · 让一个指针每次走一步，另一个每次走两步，检查它们是否相遇

为什么是这个答案

在 Floyd 算法中，如果有环，快指针最终会追上慢指针；否则快指针会到达 null。

答案

A · 让一个指针每次走一步，另一个每次走两步，检查它们是否相遇
5.图论

答案: k = 2

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

6 − 1 = 5

要去掉的边数

k = 7 − 5 = 2

答案

k = 2
6.图论

答案: W = 23

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

BC (1): 取
CE (3): 取
DE (6): 取
BE (7): 跳过，会形成圈
BD (8): 跳过，会形成圈
AC (13): 取

总权重

W = 1 + 3 + 6 + 13 = 23

答案

W = 23

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