数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

Floyd–Warshall 算法计算什么？速度如何？

  1. A以 O(V²) 计算拓扑序
  2. B以 O(V + E) 计算从一个源顶点到所有其他顶点的最短路径
  3. C以 O(V³) 计算所有顶点对之间的最短路径
  4. D以 O(E log V) 计算最小生成树
2.算法与复杂度困难

递推式 T(n) = 2T(n/2) + n log n 的解是什么？

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(n log² n)
  4. DΘ(n²)
3.数据结构中等

使用邻接矩阵检查边 (u, v) 是否存在需要多长时间？

  1. AO(log V)
  2. BO(1)
  3. CO(V)
  4. DO(E)
4.数据结构困难

为什么数据库和文件系统中使用 B 树？

  1. A它们以无序方式存储数据
  2. B其较高的分支因子使树保持较浅，从而减少缓慢的磁盘读取
  3. C它们比任何数组占用的内存都少，因此整个索引始终可以放进主存
  4. D它们不需要再平衡
5.图论中等

完全图 K7 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K7
H =
6.图论困难
101918153208416ABCDEFG

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 7|E| = 9
W =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · 以 O(V³) 计算所有顶点对之间的最短路径

为什么是这个答案

Floyd–Warshall 是一种动态规划算法，依次允许每个顶点作为中间点，耗时 O(V³)。

答案

C · 以 O(V³) 计算所有顶点对之间的最短路径
2.算法与复杂度

答案: C · Θ(n log² n)

为什么是这个答案

第 k 层的工作量约为 n log(n / 2ᵏ)，对 log n 层求和得到 Θ(n log² n)，这是主定理第二种情况的推广形式。

答案

C · Θ(n log² n)
3.数据结构

答案: B · O(1)

为什么是这个答案

第 u 行第 v 列的元素立即告诉你该边是否存在；邻接表则可能需要扫描 u 的邻居。

答案

B · O(1)
4.数据结构

答案: B · 其较高的分支因子使树保持较浅，从而减少缓慢的磁盘读取

为什么是这个答案

B 树每个节点存储多个键，因此高度很小，每次查找只需读取少量磁盘块；B+ 树还将叶子节点链接起来以支持范围扫描。

答案

B · 其较高的分支因子使树保持较浅，从而减少缓慢的磁盘读取
5.图论

答案: H = 360

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

答案

H = 360
6.图论

答案: W = 59

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

DF (3): 取
GD (4): 取
GB (8): 取
AB (10): 取
DE (15): 取
GE (16): 跳过，会形成圈
BD (18): 跳过，会形成圈
BC (19): 取

总权重

W = 3 + 4 + 8 + 10 + 15 + 19 = 59

答案

W = 59

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