数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

在包含 1,000,000 个元素的有序数组上，二分查找在最坏情况下大约需要多少次比较？

A约 100 次
B约 20 次
C约 1,000 次
D约 500,000 次

2.算法与复杂度困难

拓扑排序只适用于：

A带负权重的图
B有向无环图（DAG）
C完全图
D无向图

3.数据结构中等

一棵高度为 h（以边数计）的满二叉树有多少个节点？

A2h + 1
B2^h
Ch²
D2^h+1 − 1

4.数据结构困难

哪条性质使每棵 B 树都保持完全平衡？

A所有叶子都位于同一深度
B每个节点只存储一个键
C键只存储在根中
D每个节点恰好有两个子节点

5.图论中等

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 6|E| = 7

1欧拉回路
2有欧拉通路，无回路
3都不是

6.图论困难

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F

d(F) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · 约 20 次

为什么是这个答案

2²⁰ ≈ 1,048,576，因此大约减半 20 次后只剩下一个元素。

答案

B · 约 20 次

2.算法与复杂度

答案: B · 有向无环图（DAG）

为什么是这个答案

当且仅当有向图中没有环时才存在拓扑序；可以用 DFS 或 Kahn 算法在 O(V + E) 内求出。

答案

B · 有向无环图（DAG）

3.数据结构

答案: D · 2^h+1 − 1

为什么是这个答案

求和 1 + 2 + 4 + ... + 2^h 得到 2^h+1 − 1；例如，高度为 2 时有 7 个节点。

答案

D · 2^h+1 − 1

4.数据结构

答案: A · 所有叶子都位于同一深度

为什么是这个答案

节点满时向上分裂，只有根分裂时树才会变高，因此所有叶子始终处于同一层。

答案

A · 所有叶子都位于同一深度

5.图论

答案: 有欧拉通路，无回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；K_n 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

奇度顶点

A, C → 2

有欧拉通路，无回路

答案

有欧拉通路，无回路

欧拉通路从一个奇度顶点出发，在另一个奇度顶点结束。

6.图论

答案: d(F) = 17

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 5, C: 10

B (5): D: 16, E: 16

C (10): E: 12

E (12): F: 23

D (16): F: 17

F (17)

最短路径

A → B → D → F

d(F) = 17

答案

d(F) = 17

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