数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

在活动选择问题中，哪条贪心规则总能得到数量最多的互不重叠的活动？

  1. A选择最早结束的活动，然后在与之相容的活动中重复这一步
  2. B先选择最短的活动
  3. C选择最早开始的活动
  4. D先选择与其他活动重叠最少的活动，然后在与之相容的活动中重复这一步
2.算法与复杂度困难

Bellman–Ford 算法如何检测从源点可达的负权环？

  1. A在 V − 1 轮之后，检查是否还有边可以被松弛
  2. B它运行两次 Dijkstra 算法，并比较两次的距离结果
  3. C用深度优先搜索统计环的数量
  4. D检查是否有边的权重为负
3.数据结构中等

为什么在实践中遍历数组往往比遍历同样长度的链表快得多？

  1. A数组比较数值所用的指令更少
  2. B链表总是把元素存储在磁盘上
  3. C数组元素是连续存放的，因此能很好地利用 CPU 缓存
  4. D数组遍历总共是 O(1)，而链表遍历是 O(n)
4.数据结构困难

与有序链表相比，跳表（skip list）的主要优势是什么？

  1. A保证 O(1) 的查找，因为每个节点都存有指向其他所有节点的指针
  2. B它以无序方式存储键
  3. C它不占用额外内存
  4. D利用多层前向指针，实现期望 O(log n) 的查找
5.图论中等

一棵树有 3 个度为 3 的顶点, 2 个度为 5 的顶点, 2 个度为 2 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

3 × deg 32 × deg 52 × deg 2
L =
6.图论困难
ABCDE

从 C 到 D 的长度为 2 的途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 2
N =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · 选择最早结束的活动，然后在与之相容的活动中重复这一步

为什么是这个答案

选择最早结束时间可以用交换论证证明是最优的；其他规则都有反例。

答案

A · 选择最早结束的活动，然后在与之相容的活动中重复这一步
2.算法与复杂度

答案: A · 在 V − 1 轮之后，检查是否还有边可以被松弛

为什么是这个答案

所有真正的最短距离都会在 V − 1 轮内求出；如果某条边仍能改进，就必然存在负权环。

答案

A · 在 V − 1 轮之后，检查是否还有边可以被松弛
3.数据结构

答案: C · 数组元素是连续存放的，因此能很好地利用 CPU 缓存

为什么是这个答案

连续的内存带来良好的引用局部性，而链表节点可能分散各处，导致大量缓存未命中。

答案

C · 数组元素是连续存放的，因此能很好地利用 CPU 缓存
4.数据结构

答案: D · 利用多层前向指针，实现期望 O(log n) 的查找

为什么是这个答案

随机化的层级使查找能够跳过许多节点，从而使查找、插入和删除的期望时间为 O(log n)。

答案

D · 利用多层前向指针，实现期望 O(log n) 的查找
5.图论

答案: L = 11

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 23 = 2(L + 7) − 2
L = 11

答案

L = 11

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: N = 1

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。Kn 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 0 1 1
C: 1 0 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

公共邻点

(M²)CD = 1·0 + 0·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 1

答案

N = 1

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