数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

快速排序的最坏情况时间复杂度是多少？

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.算法与复杂度困难

关于在无序数组中选择第 k 小的元素，下列哪个说法是正确的？

  1. A快速选择的最坏情况为 O(log n)，因为它只对枢轴的一侧递归
  2. B快速选择的期望时间为 O(n)，而中位数的中位数法保证最坏情况为 O(n)
  3. C选择只能在 O(n²) 内完成
  4. D选择总是需要 Ω(n log n)，因为必须先排序
3.数据结构中等

一个大小为 7 的哈希表使用 h(k) = k mod 7 和线性探测。插入 10 之后，17 存放在哪里？

  1. A下标 0
  2. B下标 4
  3. C下标 3
  4. D下标 6
4.数据结构困难

对以邻接矩阵存储的、有 V 个顶点的图进行广度优先搜索，运行时间是多少？

  1. AO(V)
  2. BO(V²)
  3. CO(E log V)
  4. DO(V + E)
5.图论中等
ABCDEF欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 6|E| = 7
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
1910494136ABCDEF

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 3 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · O(n²)

为什么是这个答案

如果基准一直选得很差（例如输入已排好序且选第一个元素为基准），划分就会不平衡，导致 O(n²)。平均情况为 O(n log n)。

答案

C · O(n²)
2.算法与复杂度

答案: B · 快速选择的期望时间为 O(n)，而中位数的中位数法保证最坏情况为 O(n)

为什么是这个答案

使用随机基准时，快速选择的期望工作量为 n + n/2 + n/4 + ... = O(n)；把基准选为中位数的中位数可使最坏情况为线性。

答案

B · 快速选择的期望时间为 O(n)，而中位数的中位数法保证最坏情况为 O(n)
3.数据结构

答案: B · 下标 4

为什么是这个答案

10 mod 7 = 3，17 mod 7 = 3；下标 3 已被占用，因此线性探测尝试下一个槽位，即下标 4。

答案

B · 下标 4
4.数据结构

答案: B · O(V²)

为什么是这个答案

V 个顶点中的每一个都要扫描一行 V 个元素，因此为 O(V²)；使用邻接表时 BFS 为 O(V + E)。

答案

B · O(V²)
5.图论

答案: 欧拉回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

奇度顶点

0
欧拉回路

答案

欧拉回路
6.图论

答案: E

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 1, C: 9
2. B (1): D: 11, E: 7
3. E (7): F: 20
4. C (9)
5. D (11): F: 15
6. F (15)

轮 3

E

答案

E

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