数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

在一个有序数组中，你从两端各放一个指针向内移动，寻找和为目标值的两个元素。时间复杂度是多少？

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
2.算法与复杂度困难

关于在无序数组中选择第 k 小的元素，下列哪个说法是正确的？

  1. A选择总是需要 Ω(n log n)，因为必须先排序
  2. B选择只能在 O(n²) 内完成
  3. C快速选择的期望时间为 O(n)，而中位数的中位数法保证最坏情况为 O(n)
  4. D快速选择的最坏情况为 O(log n)，因为它只对枢轴的一侧递归
3.数据结构中等

把键 50、30、70、20、40 按此顺序插入一棵空的二叉搜索树。30 的左子节点是什么？

  1. A50
  2. B40
  3. C70
  4. D20
4.数据结构困难

一个动态数组在满时容量翻倍。为什么许多实现只在它只有四分之一满时才缩容，而不是一半满时？

  1. A为了避免在边界附近交替进行 push 和 pop 时反复调整大小
  2. B为了使数组保持有序
  3. C因为内存分配器只能以块的四分之一为单位释放内存
  4. D因为在一半满时减半会丢失元素
5.图论中等

一棵树有 4 个度为 3 的顶点, 2 个度为 4 的顶点, 3 个度为 5 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

4 × deg 32 × deg 43 × deg 5
L =
6.图论困难
ABCDEF

长度为 3 且起点和终点都是 D 的闭途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 3
N =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · O(n)

为什么是这个答案

如果和太小，左指针右移；如果和太大，右指针左移，因此最多 n 步。

答案

C · O(n)
2.算法与复杂度

答案: C · 快速选择的期望时间为 O(n)，而中位数的中位数法保证最坏情况为 O(n)

为什么是这个答案

使用随机基准时，快速选择的期望工作量为 n + n/2 + n/4 + ... = O(n)；把基准选为中位数的中位数可使最坏情况为线性。

答案

C · 快速选择的期望时间为 O(n)，而中位数的中位数法保证最坏情况为 O(n)
3.数据结构

答案: D · 20

为什么是这个答案

20 比 50 小，也比 30 小，因此成为 30 的左子节点；40 成为 30 的右子节点。

答案

D · 20
4.数据结构

答案: A · 为了避免在边界附近交替进行 push 和 pop 时反复调整大小

为什么是这个答案

在一半满时缩容，可能使这样的操作序列中每次操作都触发一次调整大小；1/4 与满之间的间隔使均摊代价保持在 O(1)。

答案

A · 为了避免在边界附近交替进行 push 和 pop 时反复调整大小
5.图论

答案: L = 19

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 35 = 2(L + 9) − 2
L = 19

答案

L = 19

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: N = 2

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。Kn 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 1 1 0 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 0 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

再走一步

(M³)DD = 0·0 + 0·1 + 2·0 + 3·0 + 1·1 + 1·1 = 2

答案

N = 2

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