数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

对长度为 m 和 n 的两个字符串求最长公共子序列，标准动态规划算法的时间复杂度是多少？

  1. AO(2m+n)
  2. BO(m + n)
  3. CO(mn)
  4. DO(mn log n)
2.算法与复杂度困难

不可判定问题与难解问题有什么区别？

  1. A难解问题无法被任何算法求解，而不可判定问题只需要指数时间
  2. B两者都意味着该问题根本没有算法
  3. C不可判定问题属于 NP，而难解问题属于 P
  4. D不可判定问题没有任何能处理所有输入的算法，而难解问题有算法，但太慢
3.数据结构中等

一个大小为 7 的哈希表使用 h(k) = k mod 7 和线性探测。插入 10 之后，17 存放在哪里？

  1. A下标 6
  2. B下标 0
  3. C下标 3
  4. D下标 4
4.数据结构困难

关于堆排序，下列哪个说法是正确的？

  1. A它在任何输入上都以 O(n) 时间运行
  2. B它在最坏情况下以 O(n log n) 时间原地排序，但不稳定
  3. C它需要一棵二叉搜索树作为额外存储，因此使用 O(n) 的额外内存
  4. D它是稳定的，并且需要 O(n) 的额外内存
5.图论中等

完全图 K6 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K6
H =
6.图论困难
ABCDEF

长度为 2 且起点和终点都是 C 的闭途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 2
N =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · O(mn)

为什么是这个答案

表格有 (m + 1)(n + 1) 个单元，每个单元都由相邻单元在 O(1) 内算出。

答案

C · O(mn)
2.算法与复杂度

答案: D · 不可判定问题没有任何能处理所有输入的算法，而难解问题有算法，但太慢

为什么是这个答案

停机问题根本没有算法；TSP 这样的 NP 难问题可以用蛮力法求解，只是没有已知的多项式时间算法。

答案

D · 不可判定问题没有任何能处理所有输入的算法，而难解问题有算法，但太慢
3.数据结构

答案: D · 下标 4

为什么是这个答案

10 mod 7 = 3，17 mod 7 = 3；下标 3 已被占用，因此线性探测尝试下一个槽位，即下标 4。

答案

D · 下标 4
4.数据结构

答案: B · 它在最坏情况下以 O(n log n) 时间原地排序，但不稳定

为什么是这个答案

堆排序先建立最大堆，然后在同一个数组内提取最大值 n 次；远距离的交换可能打乱相等键的顺序。

答案

B · 它在最坏情况下以 O(n log n) 时间原地排序，但不稳定
5.图论

答案: H = 60

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

答案

H = 60
6.图论

答案: N = 3

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。Kn 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

公共邻点

(M²)CC = 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 0·0 = 3

答案

N = 3

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