数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

为什么在 Big O 中通常省略对数的底，例如写成 O(log n)？

  1. A计算机科学中所有对数的底都是 10，所以可以省略
  2. B不同底的对数之间只相差一个常数因子
  3. C对数总是被四舍五入为整数
  4. D底只在 n 很小时才有影响
2.算法与复杂度困难

不可判定问题与难解问题有什么区别？

  1. A不可判定问题没有任何能处理所有输入的算法，而难解问题有算法，但太慢
  2. B不可判定问题属于 NP，而难解问题属于 P
  3. C难解问题无法被任何算法求解，而不可判定问题只需要指数时间
  4. D两者都意味着该问题根本没有算法
3.数据结构中等

如何在二叉搜索树中找到最小的键？

  1. A访问每个叶子并进行比较
  2. B从根开始沿右子节点走，直到没有右子节点为止
  3. C从根开始沿左子节点走，直到没有左子节点为止
  4. D只看根
4.数据结构困难

对于数组中的每个元素，你想以总共 O(n) 的时间求出其右侧的下一个更大元素。哪种结构有帮助？

  1. A一个保存每一对元素的队列
  2. B一个保存尚在等待答案的元素的栈
  3. C一棵为每个元素重建的二叉搜索树
  4. D一个包含所有元素的哈希表
5.图论中等

一个连通图有 10 个顶点和 17 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 10|E| = 17
k =
6.图论困难
11142159143ABCDEF

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 5 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · 不同底的对数之间只相差一个常数因子

为什么是这个答案

换底相当于把对数乘以一个常数，而 Big O 忽略常数因子。

答案

B · 不同底的对数之间只相差一个常数因子
2.算法与复杂度

答案: A · 不可判定问题没有任何能处理所有输入的算法，而难解问题有算法，但太慢

为什么是这个答案

停机问题根本没有算法；TSP 这样的 NP 难问题可以用蛮力法求解，只是没有已知的多项式时间算法。

答案

A · 不可判定问题没有任何能处理所有输入的算法，而难解问题有算法，但太慢
3.数据结构

答案: C · 从根开始沿左子节点走，直到没有左子节点为止

为什么是这个答案

树中没有比最左节点更小的键，因此它就是最小值；代价与树的高度成正比。

答案

C · 从根开始沿左子节点走，直到没有左子节点为止
4.数据结构

答案: B · 一个保存尚在等待答案的元素的栈

为什么是这个答案

从左向右扫描，弹出栈中所有比当前元素小的元素（当前元素就是它们的答案），然后把当前元素压入；每个元素最多移动两次。

答案

B · 一个保存尚在等待答案的元素的栈
5.图论

答案: k = 8

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

10 − 1 = 9

要去掉的边数

k = 17 − 9 = 8

答案

k = 8
6.图论

答案: C

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 1, C: 11
2. B (1): C: 5, D: 3, E: 4
3. D (3): F: 12
4. E (4)
5. C (5)
6. F (12)

轮 5

C

答案

C

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms