数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

你对一个 n 个元素的数组排序一次，然后用二分查找回答 k 次成员查询。总代价是多少？

AO(k n log n)
BO(n log n + k log n)
CO(n + k)
DO(nk)

2.算法与复杂度困难

Strassen 算法在矩阵乘法中对半尺寸的分块只做 7 次而不是 8 次递归乘法。它的运行时间是多少？

AΘ(n³)
BΘ(n²)
CΘ(n² log n)
DΘ(n^{log₂ 7})，约为 n^2.81

3.数据结构中等

对二叉搜索树进行中序遍历时，访问键的顺序是：

A升序排列
B始终为降序
C层序
D插入顺序

4.数据结构困难

双重哈希主要减轻了线性探测的哪个问题？

A一次聚集，即形成长串的被占用槽位
B读取键值需要 O(n) 的代价
C需要哈希函数
D需要在表中存储键

5.图论中等

一个连通图有 10 个顶点和 21 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 10|E| = 21

k =

6.图论困难

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 3 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 3

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · O(n log n + k log n)

为什么是这个答案

排序代价为 O(n log n)，每次查询为 O(log n)；当 k 很大时，这比 k 次线性扫描（O(nk)）更好。

答案

B · O(n log n + k log n)

2.算法与复杂度

答案: D · Θ(n^{log₂ 7})，约为 n^2.81

为什么是这个答案

取 a = 7、b = 2，n^{log₂ 7} 压过 O(n²) 的加法工作量，结果约为 n^2.81。

答案

D · Θ(n^{log₂ 7})，约为 n^2.81

3.数据结构

答案: A · 升序排列

为什么是这个答案

先访问左子树，再访问节点，最后访问右子树，可按有序顺序输出 BST 的键。

答案

A · 升序排列

4.数据结构

答案: A · 一次聚集，即形成长串的被占用槽位

为什么是这个答案

线性探测的步长为 1，因此被占用的连续段会不断增长并合并；双重哈希用第二个哈希函数决定步长，使不同的键探测不同的序列。

答案

A · 一次聚集，即形成长串的被占用槽位

5.图论

答案: k = 12

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；K_n 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

10 − 1 = 9

要去掉的边数

k = 21 − 9 = 12

答案

k = 12

6.图论

答案: C

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 8, C: 11

2. B (8): G: 21

3. C (11): E: 22, G: 12

4. G (12): D: 18

5. D (18): F: 27

6. E (22)

7. F (27)

轮 3

答案

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