数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

你对一个 n 个元素的数组排序一次，然后用二分查找回答 k 次成员查询。总代价是多少？

  1. AO(k n log n)
  2. BO(n + k)
  3. CO(nk)
  4. DO(n log n + k log n)
2.算法与复杂度困难

为什么在单链表上二分查找不能达到 O(log n) 的时间？

  1. A由于不能按下标直接访问，到达中间元素需要 O(n) 步
  2. B链表无法排序
  3. C二分查找至少需要两倍的内存
  4. D链表节点上的比较更慢
3.数据结构中等

对二叉搜索树进行中序遍历时，访问键的顺序是：

  1. A插入顺序
  2. B升序排列
  3. C层序
  4. D始终为降序
4.数据结构困难

红黑树必须满足哪条性质？

  1. A从任一节点到其所有后代叶子的每条路径上，黑色节点的数量都相同
  2. B每个节点都必须是红色
  3. C根节点必须是红色
  4. D每个红色节点的子节点必须是红色，因此红色节点总是沿着通向叶子的路径连成不间断的链
5.图论中等

完全图 K8 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K8
H =
6.图论困难
31315814191752ABCDEFG

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 7|E| = 9
W =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · O(n log n + k log n)

为什么是这个答案

排序代价为 O(n log n)，每次查询为 O(log n)；当 k 很大时，这比 k 次线性扫描（O(nk)）更好。

答案

D · O(n log n + k log n)
2.算法与复杂度

答案: A · 由于不能按下标直接访问，到达中间元素需要 O(n) 步

为什么是这个答案

二分查找需要以 O(1) 访问中间元素；在链表上走到那里需要线性时间，因此总时间为 O(n)。

答案

A · 由于不能按下标直接访问，到达中间元素需要 O(n) 步
3.数据结构

答案: B · 升序排列

为什么是这个答案

先访问左子树，再访问节点，最后访问右子树，可按有序顺序输出 BST 的键。

答案

B · 升序排列
4.数据结构

答案: A · 从任一节点到其所有后代叶子的每条路径上，黑色节点的数量都相同

为什么是这个答案

红黑树规则：节点为红色或黑色，根为黑色，红色节点的子节点为黑色，所有路径的黑高相同，从而使高度 ≤ 2 log₂(n + 1)。

答案

A · 从任一节点到其所有后代叶子的每条路径上，黑色节点的数量都相同
5.图论

答案: H = 2520

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

答案

H = 2520
6.图论

答案: W = 50

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

GD (2): 取
AB (3): 取
GC (5): 取
CE (8): 取
AC (13): 取
DE (14): 跳过，会形成圈
BC (15): 跳过，会形成圈
GB (17): 跳过，会形成圈
EF (19): 取

总权重

W = 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 19 = 50

答案

W = 50

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