数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

说一个 O(n²) 算法也是 O(n³)，这正确吗？

  1. A不正确，因为 Big O 必须始终给出函数的确切增长率
  2. B正确，但仅当 n 小于 100 时
  3. C正确，因为 Big O 是上界，而 n² 的增长不比 n³ 快
  4. D不正确，因为当 n 很大时 n³ 小于 n²
2.算法与复杂度困难

最短简单路径可以在多项式时间内求出。在一般图中求两个顶点之间的最长简单路径，已知情况如何？

  1. A它是 NP 难的
  2. B可以把权重取反后用 Dijkstra 算法求解
  3. C它是不可判定的
  4. D总能在 O(V + E) 内求解
3.数据结构中等

如果按已排序的顺序插入键，含 n 个节点的二叉搜索树在最坏情况下的高度是多少？

  1. Alog₂ n
  2. Bn（退化为链表）
  3. C1
  4. D√n
4.数据结构困难

在没有按秩合并和路径压缩的情况下，含 n 个元素的并查集结构中一次 find 操作的最坏代价是多少？

  1. AO(α(n))
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
5.图论中等

完全图 K6 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K6
H =
6.图论困难
121011817215ABCDE

普里姆算法从顶点 B 出发构造最小生成树。点选它加入的第 2 条边。

起点：Bk = 2
  1. 1边 AB
  2. 2边 AC
  3. 3边 BC
  4. 4边 BD
  5. 5边 CE
  6. 6边 DE
  7. 7边 BE

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · 正确，因为 Big O 是上界，而 n² 的增长不比 n³ 快

为什么是这个答案

Big O 是上界，因此这个说法是对的，但不是紧确的；Θ(n²) 给出的才是确切的增长率。

答案

C · 正确，因为 Big O 是上界，而 n² 的增长不比 n³ 快
2.算法与复杂度

答案: A · 它是 NP 难的

为什么是这个答案

长度为 V − 1 的最长简单路径就是一条哈密顿路径，而这是一个 NP 完全问题；不过在有向无环图上，它可以在线性时间内求解。

答案

A · 它是 NP 难的
3.数据结构

答案: B · n（退化为链表）

为什么是这个答案

有序插入会生成高度为 n 的退化树，使查找变为 O(n)。平衡树可以避免这种情况。

答案

B · n（退化为链表）
4.数据结构

答案: C · O(n)

为什么是这个答案

朴素的合并可能把树连成一条长链，因此 find 可能要沿着 n − 1 个父指针走；这两种启发式方法使其接近常数。

答案

C · O(n)
5.图论

答案: H = 60

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

答案

H = 60
6.图论

答案: 边 AC

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

普里姆算法

1. BC (1)
2. AC (10)
3. BE (15)
4. DE (2)

边的序号 2

AC

答案

边 AC

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