数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

基于比较的排序在最坏情况下的下界是：

  1. AΩ(n log n)
  2. BΩ(n²)
  3. CΩ(n)
  4. DΩ(log n)
2.算法与复杂度困难

在有 V 个顶点、E 条边的图上，使用二叉堆的 Dijkstra 算法运行时间是多少？

  1. AO((V + E) log V)
  2. BO(V³)
  3. CO(V × E)
  4. DO(V + E)
3.数据结构中等

为什么在实践中遍历数组往往比遍历同样长度的链表快得多？

  1. A数组元素是连续存放的，因此能很好地利用 CPU 缓存
  2. B链表总是把元素存储在磁盘上
  3. C数组遍历总共是 O(1)，而链表遍历是 O(n)
  4. D数组比较数值所用的指令更少
4.数据结构困难

把键 5、3、8、1 按此顺序插入一个空的基于数组的二叉最小堆。最终的数组是什么？

  1. A[3, 1, 8, 5]
  2. B[1, 3, 8, 5]
  3. C[1, 5, 8, 3]
  4. D[1, 3, 5, 8]
5.图论中等
ABCDE欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 5|E| = 5
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
1412101923131ABCDEF

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 6|E| = 8
W =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · Ω(n log n)

为什么是这个答案

任何比较排序在最坏情况下至少需要 log₂(n!) ≈ n log n 次比较。计数排序能突破这一下界，因为它不进行比较。

答案

A · Ω(n log n)
2.算法与复杂度

答案: A · O((V + E) log V)

为什么是这个答案

共有 V 次 extract-min 和至多 E 次 decrease-key 操作，每次为 O(log V)；斐波那契堆可将其改进为 O(E + V log V)。

答案

A · O((V + E) log V)
3.数据结构

答案: A · 数组元素是连续存放的，因此能很好地利用 CPU 缓存

为什么是这个答案

连续的内存带来良好的引用局部性，而链表节点可能分散各处，导致大量缓存未命中。

答案

A · 数组元素是连续存放的，因此能很好地利用 CPU 缓存
4.数据结构

答案: B · [1, 3, 8, 5]

为什么是这个答案

插入 5、3、8 之后数组为 [3, 5, 8]；1 放到下标 3，先与父节点 5 交换，再与 3 交换，得到 [1, 3, 8, 5]。

答案

B · [1, 3, 8, 5]
5.图论

答案: 有欧拉通路，无回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 1

奇度顶点

D, E → 2
有欧拉通路，无回路

答案

有欧拉通路，无回路

欧拉通路从一个奇度顶点出发，在另一个奇度顶点结束。

6.图论

答案: W = 31

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

BE (1): 取
CE (2): 取
DE (3): 取
BC (10): 跳过，会形成圈
AC (12): 取
DF (13): 取

总权重

W = 1 + 2 + 3 + 12 + 13 = 31

答案

W = 31

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