数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

说一个 O(n²) 算法也是 O(n³)，这正确吗？

  1. A不正确，因为 Big O 必须始终给出函数的确切增长率
  2. B正确，但仅当 n 小于 100 时
  3. C不正确，因为当 n 很大时 n³ 小于 n²
  4. D正确，因为 Big O 是上界，而 n² 的增长不比 n³ 快
2.算法与复杂度困难

Bellman–Ford 算法如何检测从源点可达的负权环？

  1. A它运行两次 Dijkstra 算法，并比较两次的距离结果
  2. B用深度优先搜索统计环的数量
  3. C检查是否有边的权重为负
  4. D在 V − 1 轮之后，检查是否还有边可以被松弛
3.数据结构中等

关于无向图的邻接矩阵，下列哪项是正确的？

  1. A每一行恰好有一个 1
  2. B它的主对角线上总是 1
  3. C它关于主对角线对称
  4. D它总是上三角矩阵
4.数据结构困难

对于数组中的每个元素，你想以总共 O(n) 的时间求出其右侧的下一个更大元素。哪种结构有帮助？

  1. A一个保存尚在等待答案的元素的栈
  2. B一个保存每一对元素的队列
  3. C一棵为每个元素重建的二叉搜索树
  4. D一个包含所有元素的哈希表
5.图论中等

完全图 K8 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K8
H =
6.图论困难
ABCDE

从 C 到 A 的长度为 2 的途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 2
N =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · 正确，因为 Big O 是上界，而 n² 的增长不比 n³ 快

为什么是这个答案

Big O 是上界，因此这个说法是对的，但不是紧确的；Θ(n²) 给出的才是确切的增长率。

答案

D · 正确，因为 Big O 是上界，而 n² 的增长不比 n³ 快
2.算法与复杂度

答案: D · 在 V − 1 轮之后，检查是否还有边可以被松弛

为什么是这个答案

所有真正的最短距离都会在 V − 1 轮内求出；如果某条边仍能改进，就必然存在负权环。

答案

D · 在 V − 1 轮之后，检查是否还有边可以被松弛
3.数据结构

答案: C · 它关于主对角线对称

为什么是这个答案

在无向图中，边 {u, v} 意味着 M[u][v] 和 M[v][u] 都被置位，因此矩阵等于其转置。

答案

C · 它关于主对角线对称
4.数据结构

答案: A · 一个保存尚在等待答案的元素的栈

为什么是这个答案

从左向右扫描，弹出栈中所有比当前元素小的元素（当前元素就是它们的答案），然后把当前元素压入；每个元素最多移动两次。

答案

A · 一个保存尚在等待答案的元素的栈
5.图论

答案: H = 2520

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

答案

H = 2520
6.图论

答案: N = 1

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。Kn 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

公共邻点

(M²)CA = 1·0 + 1·1 + 0·1 + 0·0 + 1·0 = 1

答案

N = 1

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