数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

递推式 T(n) = T(n/2) + O(1) 的解是什么？

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
2.算法与复杂度困难

拓扑排序只适用于：

  1. A无向图
  2. B带负权重的图
  3. C完全图
  4. D有向无环图（DAG）
3.数据结构中等

一棵高度为 h（以边数计）的满二叉树有多少个节点？

  1. A2h + 1
  2. B2h+1 − 1
  3. C2h
  4. Dh2
4.数据结构困难

一个对象作为键存储在哈希映射中，之后其哈希函数所用的一个字段被修改了。可能的结果是什么？

  1. A字段改变的那一刻映射就会抛出错误
  2. B什么都不会改变，因为键的哈希只在程序启动时计算一次
  3. C查找该对象可能失败，因为它位于按旧哈希值确定的桶中
  4. D映射会自动把该键移到新的桶中
5.图论中等

一棵树有 4 个度为 3 的顶点, 3 个度为 4 的顶点, 4 个度为 5 的顶点, 2 个度为 2 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

4 × deg 33 × deg 44 × deg 52 × deg 2
L =
6.图论困难
ABCDEF

从 F 到 C 的长度为 3 的途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 3
N =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · O(log n)

为什么是这个答案

问题规模每一步减半，每步的工作量是常数，因此大约有 log₂ n 步。

答案

A · O(log n)
2.算法与复杂度

答案: D · 有向无环图（DAG）

为什么是这个答案

当且仅当有向图中没有环时才存在拓扑序；可以用 DFS 或 Kahn 算法在 O(V + E) 内求出。

答案

D · 有向无环图（DAG）
3.数据结构

答案: B · 2h+1 − 1

为什么是这个答案

求和 1 + 2 + 4 + ... + 2h 得到 2h+1 − 1；例如，高度为 2 时有 7 个节点。

答案

B · 2h+1 − 1
4.数据结构

答案: C · 查找该对象可能失败，因为它位于按旧哈希值确定的桶中

为什么是这个答案

键的位置是按其旧哈希值选定的；有了新的哈希值，查找会在错误的桶中搜索，因此键应当是不可变的。

答案

C · 查找该对象可能失败，因为它位于按旧哈希值确定的桶中
5.图论

答案: L = 24

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 48 = 2(L + 13) − 2
L = 24

答案

L = 24

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: N = 2

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。Kn 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 0 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

再走一步

(M³)FC = 0·1 + 2·1 + 0·0 + 1·0 + 1·0 + 2·0 = 2

答案

N = 2

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