数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

对长度为 m 和 n 的两个字符串求最长公共子序列，标准动态规划算法的时间复杂度是多少？

AO(mn)
BO(mn log n)
CO(m + n)
DO(2^m+n)

2.算法与复杂度困难

在有 V 个顶点、E 条边的图上，使用二叉堆的 Dijkstra 算法运行时间是多少？

AO(V³)
BO(V + E)
CO(V × E)
DO((V + E) log V)

3.数据结构中等

循环缓冲区（环形缓冲区）通常用于实现：

A二叉搜索树
B固定大小的队列
C哈希函数
D图的遍历

4.数据结构困难

哪种数据结构可以支持 get 和 put 均为 O(1) 的 LRU（最近最少使用）缓存？

A仅二叉搜索树
B单个有序数组
C哈希表与双向链表相结合
D仅栈

5.图论中等

完全图 K₇ 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K₇

H =

6.图论困难

普里姆算法从顶点 D 出发构造最小生成树。点选它加入的第 2 条边。

起点：Dk = 2

1边 AB
2边 AC
3边 BC
4边 BD
5边 DE
6边 DF
7边 EF
8边 BE

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · O(mn)

为什么是这个答案

表格有 (m + 1)(n + 1) 个单元，每个单元都由相邻单元在 O(1) 内算出。

答案

A · O(mn)

2.算法与复杂度

答案: D · O((V + E) log V)

为什么是这个答案

共有 V 次 extract-min 和至多 E 次 decrease-key 操作，每次为 O(log V)；斐波那契堆可将其改进为 O(E + V log V)。

答案

D · O((V + E) log V)

3.数据结构

答案: B · 固定大小的队列

为什么是这个答案

环形缓冲区使用可回绕的头索引和尾索引，在固定内存中实现 O(1) 的 enqueue 和 dequeue。

答案

B · 固定大小的队列

4.数据结构

答案: C · 哈希表与双向链表相结合

为什么是这个答案

哈希表在 O(1) 内找到节点，双向链表在 O(1) 内将被访问的元素移到前端，并从尾部淘汰元素。

答案

C · 哈希表与双向链表相结合

5.图论

答案: H = 360

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；K_n 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

答案

H = 360

6.图论

答案: 边 BE

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

普里姆算法

1. BD (3)

2. BE (2)

3. DF (15)

4. BC (16)

5. AB (18)

边的序号 2

答案

边 BE

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