数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

对于在满时将容量翻倍的动态数组，追加元素的均摊（amortised）时间复杂度是多少？

AO(n²)
BO(1)
CO(log n)
DO(n)

2.算法与复杂度困难

一次加一操作可能翻转许多位，那么二进制计数器加一的均摊代价是多少？

A每次加一 O(log n)
B每次加一 O(n)
C每次加一 O(n log n)
D每次加一 O(1)

3.数据结构中等

链表中哨兵（哑）节点的作用是什么？

A通过消除头部或尾部的特殊情况来简化代码
B使链表有序
C防止链表增长超过固定的最大节点数
D存储元素的个数

4.数据结构困难

红黑树的规则对含 n 个键的树的高度给出了什么保证？

A高度至多为 2 log₂(n + 1)
B高度至多为 log₂ n + 1
C高度至多为 n / 2
D高度恰好为 log₂ n

5.图论中等

一棵树有 3 个度为 3 的顶点, 4 个度为 4 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

3 × deg 34 × deg 4

L =

6.图论困难

长度为 2 且起点和终点都是 C 的闭途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 2

N =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · O(1)

为什么是这个答案

只有在元素个数达到 2 的幂时才会复制全部元素；将其分摊到所有追加操作上，每次追加的平均代价是常数。

答案

B · O(1)

2.算法与复杂度

答案: D · 每次加一 O(1)

为什么是这个答案

在 n 次加一中，第 i 位大约翻转 n / 2ⁱ 次，因此总翻转次数少于 2n，平均每次为 O(1)。

答案

D · 每次加一 O(1)

3.数据结构

答案: A · 通过消除头部或尾部的特殊情况来简化代码

为什么是这个答案

有了哨兵节点，每个真实节点都有前驱，因此在头部插入或删除无需特殊处理。

答案

A · 通过消除头部或尾部的特殊情况来简化代码

4.数据结构

答案: A · 高度至多为 2 log₂(n + 1)

为什么是这个答案

每条路径上的黑色节点数相同，且红色节点不能相邻，因此最长路径至多是最短路径的两倍，从而高度为 O(log n)。

答案

A · 高度至多为 2 log₂(n + 1)

5.图论

答案: L = 13

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；K_n 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 25 = 2(L + 7) − 2

L = 13

答案

L = 13

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: N = 3

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。K_n 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 1 1 0 0 0

B: 1 0 1 1 1 0

C: 1 1 0 0 1 0

D: 0 1 0 0 1 1

E: 0 1 1 1 0 1

F: 0 0 0 1 1 0

公共邻点

(M²)_CC = 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 0·0 = 3

答案

N = 3

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