数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

一个函数先运行一个 n 次迭代的循环，然后再单独运行另一个 n 次迭代的循环。它的时间复杂度是多少？

  1. AO(n²)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.算法与复杂度困难

要证明一个新问题 X 是 NP 难（NP-hard）的，必须做什么？

  1. A把 X 在多项式时间内归约到一个已知的 NP 难问题
  2. B证明 X 能在多项式时间内被验证
  3. C证明 X 对于小规模输入没有多项式算法
  4. D把一个已知的 NP 难问题在多项式时间内归约到 X
3.数据结构中等

在存储于容量为 n 的数组中的循环队列里，下标 i 之后的下一个位置如何计算？

  1. Ai + 1
  2. B(i − 1) mod n
  3. C2i + 1
  4. D(i + 1) mod n
4.数据结构困难

在循环缓冲区中，front == rear 既可能表示空，也可能表示满。区分它们的一种常见方法是什么？

  1. A把 front 和 rear 存储在同一个变量中
  2. B另外保存一个元素计数，或者始终留一个槽位不用
  3. C每当 front 等于 rear 时就始终清空缓冲区，使其状态为空
  4. D使缓冲区大小为 2 的幂
5.图论中等

完全图 K4 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K4
H =
6.图论困难
101315111587127ABCDEF

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F
d(F) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · O(n)

为什么是这个答案

n + n = 2n，去掉常数因子后，该函数为 O(n)。

答案

D · O(n)
2.算法与复杂度

答案: D · 把一个已知的 NP 难问题在多项式时间内归约到 X

为什么是这个答案

如果一个已知的难题能被高效地转换为 X，那么 X 的快速算法也能解决这个已知问题。

答案

D · 把一个已知的 NP 难问题在多项式时间内归约到 X
3.数据结构

答案: D · (i + 1) mod n

为什么是这个答案

取模运算把下标 n − 1 回绕到 0，因此数组可以被重复使用而无需移动元素。

答案

D · (i + 1) mod n
4.数据结构

答案: B · 另外保存一个元素计数，或者始终留一个槽位不用

为什么是这个答案

有计数时，空表示 count = 0，满表示 count = capacity；留一个空槽时，满定义为 (rear + 1) mod n == front。

答案

B · 另外保存一个元素计数，或者始终留一个槽位不用
5.图论

答案: H = 3

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

答案

H = 3
6.图论

答案: d(F) = 28

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 10, C: 13
B (10): D: 21, E: 17
C (13)
E (17): F: 29
D (21): F: 28
F (28)

最短路径

A → B → D → F
d(F) = 28

答案

d(F) = 28

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