数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

快速排序总是使用第一个元素作为基准。它在哪种输入上表现出最坏情况？

  1. A已经有序的数组
  2. B长度为 2 的数组
  3. C随机顺序的数组
  4. D所有元素都不相同的数组
2.算法与复杂度困难

旅行商问题如何分类？

  1. A判定版本是 NP 完全的，优化版本是 NP 难的
  2. B它属于 P，因为 Dijkstra 算法通过把每个城市访问一次来求解它
  3. C它是不可判定的
  4. D判定版本属于 P，但优化版本是 NP 完全的
3.数据结构中等

循环缓冲区（环形缓冲区）通常用于实现：

  1. A固定大小的队列
  2. B二叉搜索树
  3. C哈希函数
  4. D图的遍历
4.数据结构困难

为什么数据库常用 B+ 树而不是普通的 B 树来建立索引？

  1. AB+ 树使用二叉内部节点，从而减少磁盘读取次数
  2. BB+ 树只在根中存储数据
  3. C所有记录都在相互链接的叶子中，使范围扫描很高效
  4. DB+ 树不需要保持平衡
5.图论中等

一棵树有 2 个度为 3 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

2 × deg 3
L =
6.图论困难
11541417145ABCDEF

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F
d(F) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · 已经有序的数组

为什么是这个答案

在有序输入上，基准总是最小值，因此一侧为空，另一侧有 n − 1 个元素，结果为 O(n²)。

答案

A · 已经有序的数组
2.算法与复杂度

答案: A · 判定版本是 NP 完全的，优化版本是 NP 难的

为什么是这个答案

"是否存在长度至多为 k 的回路？"是 NP 完全的；求最短回路是 NP 难的，因为它至少同样困难。

答案

A · 判定版本是 NP 完全的，优化版本是 NP 难的
3.数据结构

答案: A · 固定大小的队列

为什么是这个答案

环形缓冲区使用可回绕的头索引和尾索引，在固定内存中实现 O(1) 的 enqueue 和 dequeue。

答案

A · 固定大小的队列
4.数据结构

答案: C · 所有记录都在相互链接的叶子中，使范围扫描很高效

为什么是这个答案

在 B+ 树中，内部节点只用于引导查找，叶子按键的顺序链接起来，因此范围查询先找到第一个键，再沿着叶子向后走。

答案

C · 所有记录都在相互链接的叶子中，使范围扫描很高效
5.图论

答案: L = 4

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 6 = 2(L + 2) − 2
L = 4

答案

L = 4

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: d(F) = 20

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 1, C: 15
B (1): C: 5, D: 15, E: 6
C (5)
E (6): F: 20
D (15)
F (20)

最短路径

A → B → E → F
d(F) = 20

答案

d(F) = 20

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