数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

一个问题具有最优子结构是什么意思？

  1. A每个子问题的规模都相同
  2. B该问题恰好有一个最优解，所有子问题共享这个解
  3. C该问题可以在常数时间内求解
  4. D最优解可以由其子问题的最优解构造出来
2.算法与复杂度困难

为什么在有序数组中任何基于比较的查找在最坏情况下都需要 Ω(log n) 次比较？

  1. A有 n 种可能结果的决策树，其深度至少为 log₂ n
  2. B每个元素都必须至少比较一次
  3. C每次比较都需要对数时间
  4. D二分查找是唯一可能的算法，它需要 log₂ n 次比较
3.数据结构中等

如何在二叉搜索树中找到最小的键？

  1. A只看根
  2. B从根开始沿右子节点走，直到没有右子节点为止
  3. C从根开始沿左子节点走，直到没有左子节点为止
  4. D访问每个叶子并进行比较
4.数据结构困难

如何只用 O(1) 的额外内存检测一个单链表中是否有环？

  1. A计数节点，直到计数超过链表的长度字段
  2. B把每个访问过的节点存入一个哈希集合
  3. C对链表排序并寻找重复元素
  4. D让一个指针每次走一步，另一个每次走两步，检查它们是否相遇
5.图论中等

一个连通图有 10 个顶点和 15 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 10|E| = 15
k =
6.图论困难
1015111771891412ABCDEFG

普里姆算法从顶点 G 出发构造最小生成树。点选它加入的第 2 条边。

起点：Gk = 2
  1. 1边 AB
  2. 2边 AC
  3. 3边 BC
  4. 4边 BD
  5. 5边 DE
  6. 6边 EF
  7. 7边 GC
  8. 8边 GD
  9. 9边 GE

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · 最优解可以由其子问题的最优解构造出来

为什么是这个答案

贪心算法和动态规划要得出正确答案，都需要问题具有最优子结构。

答案

D · 最优解可以由其子问题的最优解构造出来
2.算法与复杂度

答案: A · 有 n 种可能结果的决策树，其深度至少为 log₂ n

为什么是这个答案

每次比较至多把剩余的可能性减半，因此要区分 n 个位置至少需要 log₂ n 次比较。

答案

A · 有 n 种可能结果的决策树，其深度至少为 log₂ n
3.数据结构

答案: C · 从根开始沿左子节点走，直到没有左子节点为止

为什么是这个答案

树中没有比最左节点更小的键，因此它就是最小值；代价与树的高度成正比。

答案

C · 从根开始沿左子节点走，直到没有左子节点为止
4.数据结构

答案: D · 让一个指针每次走一步，另一个每次走两步，检查它们是否相遇

为什么是这个答案

在 Floyd 算法中，如果有环，快指针最终会追上慢指针；否则快指针会到达 null。

答案

D · 让一个指针每次走一步，另一个每次走两步，检查它们是否相遇
5.图论

答案: k = 6

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

10 − 1 = 9

要去掉的边数

k = 15 − 9 = 6

答案

k = 6
6.图论

答案: 边 BC

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

普里姆算法

1. GC (9)
2. BC (11)
3. AB (10)
4. GE (12)
5. DE (7)
6. EF (18)

边的序号 2

BC

答案

边 BC

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