数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

为什么许多库排序函数在子数组很小时会改用插入排序？

  1. A插入排序在最坏情况下是 O(n log n)
  2. B在大规模输入上，插入排序比任何其他排序算法使用的内存都少
  3. C递归算法无法处理少于 10 个元素的数组
  4. D插入排序开销小，在小规模或几乎有序的输入上很快
2.算法与复杂度困难

为什么当某些边权为负时，Dijkstra 算法可能给出错误结果？

  1. A每遇到一条负权边它就会陷入无限循环
  2. B顶点被取出时距离就被确定，但之后的负权边仍可能给它一条更短的路径
  3. C它只适用于无向图
  4. D优先队列中不能存储负数
3.数据结构中等

一个大小为 7 的哈希表使用 h(k) = k mod 7 和线性探测。插入 10 之后，17 存放在哪里？

  1. A下标 3
  2. B下标 6
  3. C下标 0
  4. D下标 4
4.数据结构困难

要使哈希表正确工作，哈希与相等性必须遵守哪条规则？

  1. A哈希值必须是素数
  2. B不同的键必须具有不同的哈希值
  3. C哈希值相等意味着键相等
  4. D相等的键必须具有相等的哈希值
5.图论中等
ABCDEF欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 6|E| = 8
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
821097411137ABCDEFG

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 E 的最短路径的长度 d(E)。

起点：A终点：E
d(E) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · 插入排序开销小，在小规模或几乎有序的输入上很快

为什么是这个答案

对于很小的 n，插入排序的简单循环胜过快速排序或归并排序的递归开销，尽管它是 O(n²)。

答案

D · 插入排序开销小，在小规模或几乎有序的输入上很快
2.算法与复杂度

答案: B · 顶点被取出时距离就被确定，但之后的负权边仍可能给它一条更短的路径

为什么是这个答案

贪心步骤依赖于非负权重，才能保证取出的距离是最终值；权重可能为负时应使用 Bellman–Ford。

答案

B · 顶点被取出时距离就被确定，但之后的负权边仍可能给它一条更短的路径
3.数据结构

答案: D · 下标 4

为什么是这个答案

10 mod 7 = 3，17 mod 7 = 3；下标 3 已被占用，因此线性探测尝试下一个槽位，即下标 4。

答案

D · 下标 4
4.数据结构

答案: D · 相等的键必须具有相等的哈希值

为什么是这个答案

如果两个相等的键哈希值不同，它们就会被存储在不同的桶中，查找就会失败；不相等的键仍然可以共用一个哈希值。

答案

D · 相等的键必须具有相等的哈希值
5.图论

答案: 都不是

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2

奇度顶点

B, C, D, E → 4
都不是

答案

都不是
6.图论

答案: d(E) = 11

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 8, C: 2
C (2): E: 11
B (8): G: 9
G (9): D: 12
E (11): F: 22
D (12): F: 16
F (16)

最短路径

A → C → E
d(E) = 11

答案

d(E) = 11

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