数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

在包含 1,000,000 个元素的有序数组上，二分查找在最坏情况下大约需要多少次比较？

A约 100 次
B约 500,000 次
C约 1,000 次
D约 20 次

2.算法与复杂度困难

Strassen 算法在矩阵乘法中对半尺寸的分块只做 7 次而不是 8 次递归乘法。它的运行时间是多少？

AΘ(n³)
BΘ(n^{log₂ 7})，约为 n^2.81
CΘ(n² log n)
DΘ(n²)

3.数据结构中等

AVL 树和红黑树保证：

A在任何情况下查找都是常数时间
B没有节点拥有两个子节点
C键按插入顺序存储
D通过再平衡使高度为 O(log n)

4.数据结构困难

采用按秩合并（union by rank）和路径压缩（path compression）的并查集（union-find，不相交集合），每次操作的均摊代价为：

AO(n²)
B恰好 O(log n)
CO(α(n))，即反阿克曼函数，实际上可视为常数
DO(n)

5.图论中等

完全图 K₆ 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K₆

H =

6.图论困难

克鲁斯卡尔算法构造最小生成树。点选它加入的第 4 条边；被跳过的边不计。

k = 4

1边 AB
2边 AC
3边 BC
4边 BD
5边 CE
6边 DE
7边 BE

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · 约 20 次

为什么是这个答案

2²⁰ ≈ 1,048,576，因此大约减半 20 次后只剩下一个元素。

答案

D · 约 20 次

2.算法与复杂度

答案: B · Θ(n^{log₂ 7})，约为 n^2.81

为什么是这个答案

取 a = 7、b = 2，n^{log₂ 7} 压过 O(n²) 的加法工作量，结果约为 n^2.81。

答案

B · Θ(n^{log₂ 7})，约为 n^2.81

3.数据结构

答案: D · 通过再平衡使高度为 O(log n)

为什么是这个答案

自平衡树使高度保持对数级，因此查找、插入和删除在最坏情况下都是 O(log n)。

答案

D · 通过再平衡使高度为 O(log n)

4.数据结构

答案: C · O(α(n))，即反阿克曼函数，实际上可视为常数

为什么是这个答案

同时使用两种优化后，操作的均摊时间为 O(α(n))；对于任何实际的 n，α(n) ≤ 4。

答案

C · O(α(n))，即反阿克曼函数，实际上可视为常数

5.图论

答案: H = 60

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；K_n 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

答案

H = 60

6.图论

答案: 边 CE

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

1. AC (1)

2. BE (6)

3. DE (9)

4. CE (11)

边的序号 4

答案

边 CE

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