数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

递推式 T(n) = T(n − 1) + O(1) 的解是什么？

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.算法与复杂度困难

哪种算法通过反复加入不会形成环的最便宜的边来求最小生成树？

  1. AKruskal 算法
  2. BDijkstra 算法
  3. C从一个节点出发的 Prim 算法
  4. DFloyd–Warshall
3.数据结构中等

在二叉最小堆中，extract-min 是如何工作的？

  1. A删除根，并把所有元素左移一位
  2. B删除数组的最后一个元素
  3. C把最后一个元素移到根上，再将其下沉
  4. D在所有叶子中查找新的最小值
4.数据结构困难

在一棵根为 50、左子树为 30（子节点 20、40）、右子树为 70（子节点 60、80）的 BST 中，用中序后继删除根。哪个键成为新的根？

  1. A80
  2. B40
  3. C70
  4. D60
5.图论中等

一棵树有 2 个度为 4 的顶点, 4 个度为 5 的顶点, 4 个度为 2 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

2 × deg 44 × deg 54 × deg 2
L =
6.图论困难
1815141391515ABCDEF

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F
d(F) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · O(n)

为什么是这个答案

共有 n 层，每层的工作量是常数，例如递归地对数组求和。

答案

C · O(n)
2.算法与复杂度

答案: A · Kruskal 算法

为什么是这个答案

Kruskal 按权重对边排序，若一条边连接不同的连通分量就加入它；Prim 则从一个起始顶点开始扩展一棵树。

答案

A · Kruskal 算法
3.数据结构

答案: C · 把最后一个元素移到根上，再将其下沉

为什么是这个答案

最后一个元素填补根上的空位，并与其较小的子节点交换，直到满足堆性质，耗时 O(log n)。

答案

C · 把最后一个元素移到根上，再将其下沉
4.数据结构

答案: D · 60

为什么是这个答案

右子树中最左的节点是 60，因此 60 替换 50，并删除其原来的位置；使用前驱则会得到 40。

答案

D · 60
5.图论

答案: L = 18

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 36 = 2(L + 10) − 2
L = 18

答案

L = 18

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: d(F) = 31

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 1, C: 8
B (1): D: 15, E: 16
C (8)
D (15)
E (16): F: 31
F (31)

最短路径

A → B → E → F
d(F) = 31

答案

d(F) = 31

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