数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

递推式 T(n) = 2T(n − 1) + O(1) 的解是什么？

  1. AO(n²)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
2.算法与复杂度困难

为什么当某些边权为负时，Dijkstra 算法可能给出错误结果？

  1. A每遇到一条负权边它就会陷入无限循环
  2. B优先队列中不能存储负数
  3. C顶点被取出时距离就被确定，但之后的负权边仍可能给它一条更短的路径
  4. D它只适用于无向图
3.数据结构中等

含 V 个顶点的图的邻接矩阵占用多少内存？

  1. AO(E)
  2. BO(V²)
  3. CO(V + E)
  4. DO(log V)
4.数据结构困难

建立在 n 个数的数组上的树状数组（Fenwick tree，binary indexed tree）以 O(log n) 支持哪些操作？

  1. A在任意位置插入元素
  2. B以 O(1) 求中位数
  3. C前缀和查询和单个元素更新
  4. D对数组排序和二分查找
5.图论中等

完全图 K5 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K5
H =
6.图论困难
ABCDE

从 B 到 C 的长度为 3 的途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 3
N =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · O(2ⁿ)

为什么是这个答案

调用次数每深入一层就翻倍，共有 n 层，因此总数约为 2ⁿ，就像汉诺塔问题一样。

答案

B · O(2ⁿ)
2.算法与复杂度

答案: C · 顶点被取出时距离就被确定，但之后的负权边仍可能给它一条更短的路径

为什么是这个答案

贪心步骤依赖于非负权重，才能保证取出的距离是最终值；权重可能为负时应使用 Bellman–Ford。

答案

C · 顶点被取出时距离就被确定，但之后的负权边仍可能给它一条更短的路径
3.数据结构

答案: B · O(V²)

为什么是这个答案

邻接矩阵存储 V × V 个元素，适合稠密图；邻接表占用 O(V + E)，更适合稀疏图。

答案

B · O(V²)
4.数据结构

答案: C · 前缀和查询和单个元素更新

为什么是这个答案

树状数组存储由每个下标的低位所确定区间上的部分和，因此前缀和与单点更新都只需 O(log n)。

答案

C · 前缀和查询和单个元素更新
5.图论

答案: H = 12

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

答案

H = 12
6.图论

答案: N = 6

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。Kn 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 0
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 0 1 1 0

再走一步

(M³)BC = 1·1 + 3·1 + 1·0 + 0·0 + 2·1 = 6

答案

N = 6

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