数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

在一个有序数组中，你从两端各放一个指针向内移动，寻找和为目标值的两个元素。时间复杂度是多少？

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.算法与复杂度困难

用一个只保留最后两个值的循环计算第 n 个斐波那契数，时间和空间代价各是多少？

  1. AO(n) 时间和 O(n) 空间
  2. BO(2ⁿ) 时间和 O(1) 空间
  3. CO(log n) 时间和 O(n) 空间
  4. DO(n) 时间和 O(1) 空间
3.数据结构中等

循环缓冲区（环形缓冲区）通常用于实现：

  1. A固定大小的队列
  2. B二叉搜索树
  3. C哈希函数
  4. D图的遍历
4.数据结构困难

双重哈希主要减轻了线性探测的哪个问题？

  1. A需要哈希函数
  2. B需要在表中存储键
  3. C一次聚集，即形成长串的被占用槽位
  4. D读取键值需要 O(n) 的代价
5.图论中等

一个连通图有 7 个顶点和 15 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 7|E| = 15
k =
6.图论困难
11181685915ABCDE

克鲁斯卡尔算法构造最小生成树。点选它加入的第 2 条边；被跳过的边不计。

k = 2
  1. 1边 AB
  2. 2边 AC
  3. 3边 BC
  4. 4边 BD
  5. 5边 CE
  6. 6边 DE
  7. 7边 BE

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · O(n)

为什么是这个答案

如果和太小，左指针右移；如果和太大，右指针左移，因此最多 n 步。

答案

A · O(n)
2.算法与复杂度

答案: D · O(n) 时间和 O(1) 空间

为什么是这个答案

每一步只需要前两个值，因此自底向上方法中的表格可以用两个变量代替。

答案

D · O(n) 时间和 O(1) 空间
3.数据结构

答案: A · 固定大小的队列

为什么是这个答案

环形缓冲区使用可回绕的头索引和尾索引，在固定内存中实现 O(1) 的 enqueue 和 dequeue。

答案

A · 固定大小的队列
4.数据结构

答案: C · 一次聚集，即形成长串的被占用槽位

为什么是这个答案

线性探测的步长为 1，因此被占用的连续段会不断增长并合并；双重哈希用第二个哈希函数决定步长，使不同的键探测不同的序列。

答案

C · 一次聚集，即形成长串的被占用槽位
5.图论

答案: k = 9

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

7 − 1 = 6

要去掉的边数

k = 15 − 6 = 9

答案

k = 9
6.图论

答案: 边 BD

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

1. CE (5)
2. BD (8)
3. DE (9)
4. AB (11)

边的序号 2

BD

答案

边 BD

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