数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

Floyd–Warshall 算法计算什么？速度如何？

  1. A以 O(V²) 计算拓扑序
  2. B以 O(V³) 计算所有顶点对之间的最短路径
  3. C以 O(V + E) 计算从一个源顶点到所有其他顶点的最短路径
  4. D以 O(E log V) 计算最小生成树
2.算法与复杂度困难

用动态规划求解 0/1 背包问题需要 O(nW) 时间。为什么称之为伪多项式（pseudo-polynomial）？

  1. AW 是一个数值，因此运行时间相对于表示 W 所需的位数是指数级的
  2. B因为它只适用于 W = 0
  3. C因为该算法是随机化的，其运行时间随每个输入而变化
  4. D因为 n 总是很小
3.数据结构中等

使用邻接矩阵检查边 (u, v) 是否存在需要多长时间？

  1. AO(1)
  2. BO(E)
  3. CO(log V)
  4. DO(V)
4.数据结构困难

采用按秩合并（union by rank）和路径压缩（path compression）的并查集（union-find，不相交集合），每次操作的均摊代价为：

  1. A恰好 O(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(α(n))，即反阿克曼函数，实际上可视为常数
5.图论中等
ABCDE欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 5|E| = 5
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
ABCDE

从 D 到 E 的长度为 2 的途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 2
N =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · 以 O(V³) 计算所有顶点对之间的最短路径

为什么是这个答案

Floyd–Warshall 是一种动态规划算法，依次允许每个顶点作为中间点，耗时 O(V³)。

答案

B · 以 O(V³) 计算所有顶点对之间的最短路径
2.算法与复杂度

答案: A · W 是一个数值，因此运行时间相对于表示 W 所需的位数是指数级的

为什么是这个答案

运行时间关于 W 的数值是多项式的，但关于其长度（log W 位）是指数级的；0/1 背包问题是 NP 完全的。

答案

A · W 是一个数值，因此运行时间相对于表示 W 所需的位数是指数级的
3.数据结构

答案: A · O(1)

为什么是这个答案

第 u 行第 v 列的元素立即告诉你该边是否存在；邻接表则可能需要扫描 u 的邻居。

答案

A · O(1)
4.数据结构

答案: D · O(α(n))，即反阿克曼函数，实际上可视为常数

为什么是这个答案

同时使用两种优化后，操作的均摊时间为 O(α(n))；对于任何实际的 n，α(n) ≤ 4。

答案

D · O(α(n))，即反阿克曼函数，实际上可视为常数
5.图论

答案: 有欧拉通路，无回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

奇度顶点

A, B → 2
有欧拉通路，无回路

答案

有欧拉通路，无回路

欧拉通路从一个奇度顶点出发，在另一个奇度顶点结束。

6.图论

答案: N = 1

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。Kn 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 0
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 0 1 0

公共邻点

(M²)DE = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·1 + 1·0 = 1

答案

N = 1

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