数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

用自底向上的表格计算第 n 个斐波那契数，时间复杂度是多少？

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.算法与复杂度困难

为什么哈希表的平均查找时间是 O(1)，而最坏情况是 O(n)？

  1. A键必须先排序
  2. B数组的访问时间是 O(n)
  3. C许多键可能冲突（collision）到同一个桶中
  4. D哈希函数运行很慢
3.数据结构中等

用两个栈实现一个队列：入队时压入 "in" 栈，出队时从 "out" 栈弹出，"out" 栈为空时从 "in" 栈重新填充。每次操作的均摊代价是多少？

  1. AO(1)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
4.数据结构困难

一个对象作为键存储在哈希映射中，之后其哈希函数所用的一个字段被修改了。可能的结果是什么？

  1. A映射会自动把该键移到新的桶中
  2. B字段改变的那一刻映射就会抛出错误
  3. C什么都不会改变，因为键的哈希只在程序启动时计算一次
  4. D查找该对象可能失败，因为它位于按旧哈希值确定的桶中
5.图论中等
ABCDEFG欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 7|E| = 9
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
192010161415518239ABCDEFG

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 7|E| = 11
W =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · O(n)

为什么是这个答案

从 0 到 n 填表时每项只需一次加法，因此工作量是线性的，而不是指数级的。

答案

C · O(n)
2.算法与复杂度

答案: C · 许多键可能冲突（collision）到同一个桶中

为什么是这个答案

在哈希函数和负载因子（load factor）良好的情况下，桶的平均长度很短；恶意构造的输入或较差的哈希可能把所有键放进同一个桶。

答案

C · 许多键可能冲突（collision）到同一个桶中
3.数据结构

答案: A · O(1)

为什么是这个答案

每个元素总共最多被压入和弹出各两次，因此尽管一次重新填充可能需要 O(n)，整个操作序列的平均代价是 O(1)。

答案

A · O(1)
4.数据结构

答案: D · 查找该对象可能失败，因为它位于按旧哈希值确定的桶中

为什么是这个答案

键的位置是按其旧哈希值选定的；有了新的哈希值，查找会在错误的桶中搜索，因此键应当是不可变的。

答案

D · 查找该对象可能失败，因为它位于按旧哈希值确定的桶中
5.图论

答案: 都不是

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 4, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 3

奇度顶点

A, C, E, G → 4
都不是

答案

都不是
6.图论

答案: W = 48

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

GC (2): 取
GD (3): 取
EF (5): 取
GE (9): 取
BC (10): 取
CE (14): 跳过，会形成圈
DE (15): 跳过，会形成圈
BD (16): 跳过，会形成圈
GB (18): 跳过，会形成圈
AB (19): 取

总权重

W = 2 + 3 + 5 + 9 + 10 + 19 = 48

答案

W = 48

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