数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

说一个 O(n²) 算法也是 O(n³)，这正确吗？

  1. A正确，因为 Big O 是上界，而 n² 的增长不比 n³ 快
  2. B正确，但仅当 n 小于 100 时
  3. C不正确，因为当 n 很大时 n³ 小于 n²
  4. D不正确，因为 Big O 必须始终给出函数的确切增长率
2.算法与复杂度困难

Bellman–Ford 算法如何检测从源点可达的负权环？

  1. A用深度优先搜索统计环的数量
  2. B在 V − 1 轮之后，检查是否还有边可以被松弛
  3. C它运行两次 Dijkstra 算法，并比较两次的距离结果
  4. D检查是否有边的权重为负
3.数据结构中等

Dijkstra 算法使用哪种抽象数据类型来选择下一个要处理的顶点？

  1. A栈
  2. BFIFO 队列
  3. C最小优先队列
  4. D无序集合
4.数据结构困难

一个对象作为键存储在哈希映射中，之后其哈希函数所用的一个字段被修改了。可能的结果是什么？

  1. A字段改变的那一刻映射就会抛出错误
  2. B映射会自动把该键移到新的桶中
  3. C查找该对象可能失败，因为它位于按旧哈希值确定的桶中
  4. D什么都不会改变，因为键的哈希只在程序启动时计算一次
5.图论中等
ABCDE欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 5|E| = 6
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
718201689114ABCDEF

普里姆算法从顶点 B 出发构造最小生成树。点选它加入的第 5 条边。

起点：Bk = 5
  1. 1边 AB
  2. 2边 AC
  3. 3边 BC
  4. 4边 BD
  5. 5边 CE
  6. 6边 DF
  7. 7边 EF
  8. 8边 BE

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · 正确，因为 Big O 是上界，而 n² 的增长不比 n³ 快

为什么是这个答案

Big O 是上界，因此这个说法是对的，但不是紧确的；Θ(n²) 给出的才是确切的增长率。

答案

A · 正确，因为 Big O 是上界，而 n² 的增长不比 n³ 快
2.算法与复杂度

答案: B · 在 V − 1 轮之后，检查是否还有边可以被松弛

为什么是这个答案

所有真正的最短距离都会在 V − 1 轮内求出；如果某条边仍能改进，就必然存在负权环。

答案

B · 在 V − 1 轮之后，检查是否还有边可以被松弛
3.数据结构

答案: C · 最小优先队列

为什么是这个答案

最小优先队列（通常是二叉堆）能高效地返回距离最小的未访问顶点。

答案

C · 最小优先队列
4.数据结构

答案: C · 查找该对象可能失败，因为它位于按旧哈希值确定的桶中

为什么是这个答案

键的位置是按其旧哈希值选定的；有了新的哈希值，查找会在错误的桶中搜索，因此键应当是不可变的。

答案

C · 查找该对象可能失败，因为它位于按旧哈希值确定的桶中
5.图论

答案: 欧拉回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

奇度顶点

0
欧拉回路

答案

欧拉回路
6.图论

答案: 边 DF

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

普里姆算法

1. BE (4)
2. AB (7)
3. CE (8)
4. EF (11)
5. DF (9)

边的序号 5

DF

答案

边 DF

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