数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

Floyd–Warshall 算法计算什么？速度如何？

  1. A以 O(V²) 计算拓扑序
  2. B以 O(V + E) 计算从一个源顶点到所有其他顶点的最短路径
  3. C以 O(E log V) 计算最小生成树
  4. D以 O(V³) 计算所有顶点对之间的最短路径
2.算法与复杂度困难

关于在无序数组中选择第 k 小的元素，下列哪个说法是正确的？

  1. A选择总是需要 Ω(n log n)，因为必须先排序
  2. B快速选择的期望时间为 O(n)，而中位数的中位数法保证最坏情况为 O(n)
  3. C快速选择的最坏情况为 O(log n)，因为它只对枢轴的一侧递归
  4. D选择只能在 O(n²) 内完成
3.数据结构中等

AVL 树在每个节点上维持什么平衡条件？

  1. A每个节点都被着成红色或黑色
  2. B所有叶子都恰好位于同一深度
  3. C左右子树的高度之差至多为 1
  4. D每个节点的两棵子树包含完全相同数量的节点
4.数据结构困难

为什么服务器可能会从一个通用哈希函数族中随机选择其哈希函数？

  1. A使攻击者极难选出许多全部发生冲突的键
  2. B免去对表进行扩容的需要
  3. C保证任何两个键永远不会发生冲突，无论攻击者发送什么键
  4. D使哈希表有序
5.图论中等

完全图 K5 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K5
H =
6.图论困难
2019849107143ABCDEF

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 6|E| = 9
W =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · 以 O(V³) 计算所有顶点对之间的最短路径

为什么是这个答案

Floyd–Warshall 是一种动态规划算法，依次允许每个顶点作为中间点，耗时 O(V³)。

答案

D · 以 O(V³) 计算所有顶点对之间的最短路径
2.算法与复杂度

答案: B · 快速选择的期望时间为 O(n)，而中位数的中位数法保证最坏情况为 O(n)

为什么是这个答案

使用随机基准时，快速选择的期望工作量为 n + n/2 + n/4 + ... = O(n)；把基准选为中位数的中位数可使最坏情况为线性。

答案

B · 快速选择的期望时间为 O(n)，而中位数的中位数法保证最坏情况为 O(n)
3.数据结构

答案: C · 左右子树的高度之差至多为 1

为什么是这个答案

平衡因子（左子树高度 − 右子树高度）必须为 −1、0 或 1；插入和删除之后通过旋转来恢复平衡。

答案

C · 左右子树的高度之差至多为 1
4.数据结构

答案: A · 使攻击者极难选出许多全部发生冲突的键

为什么是这个答案

使用通用哈希时，对于任何键集合，冲突的期望次数都很小，因为攻击者不知道选择的是哪个函数。

答案

A · 使攻击者极难选出许多全部发生冲突的键
5.图论

答案: H = 12

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

答案

H = 12
6.图论

答案: W = 41

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

BE (3): 取
BD (4): 取
DF (7): 取
BC (8): 取
CE (9): 跳过，会形成圈
DE (10): 跳过，会形成圈
EF (14): 跳过，会形成圈
AC (19): 取

总权重

W = 3 + 4 + 7 + 8 + 19 = 41

答案

W = 41

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