数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

递推式 T(n) = 2T(n/2) + O(n) 的解是：

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
2.算法与复杂度困难

Karatsuba 乘法满足 T(n) = 3T(n/2) + O(n)。它的解是什么？

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n3)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(nlog₂ 3)，约为 n1.585
3.数据结构中等

一棵高度为 h（以边数计）的满二叉树有多少个节点？

  1. A2h + 1
  2. Bh2
  3. C2h+1 − 1
  4. D2h
4.数据结构困难

双重哈希主要减轻了线性探测的哪个问题？

  1. A读取键值需要 O(n) 的代价
  2. B一次聚集，即形成长串的被占用槽位
  3. C需要哈希函数
  4. D需要在表中存储键
5.图论中等

一个连通图有 13 个顶点和 15 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 13|E| = 15
k =
6.图论困难
971241915201031714ABCDEFG

普里姆算法从顶点 F 出发构造最小生成树。点选它加入的第 3 条边。

起点：Fk = 3
  1. 1边 AB
  2. 2边 BC
  3. 3边 BD
  4. 4边 CE
  5. 5边 DE
  6. 6边 DF
  7. 7边 EF
  8. 8边 GB
  9. 9边 GC
  10. 10边 GD
  11. 11边 GE

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · O(n log n)

为什么是这个答案

根据主定理（master theorem）（a = 2, b = 2, f(n) = n），T(n) = Θ(n log n)。

答案

D · O(n log n)
2.算法与复杂度

答案: D · Θ(nlog₂ 3)，约为 n1.585

为什么是这个答案

由于 log₂ 3 ≈ 1.585 > 1，根据主定理叶子层占主导，因此优于 O(n²) 的竖式乘法。

答案

D · Θ(nlog₂ 3)，约为 n1.585
3.数据结构

答案: C · 2h+1 − 1

为什么是这个答案

求和 1 + 2 + 4 + ... + 2h 得到 2h+1 − 1；例如，高度为 2 时有 7 个节点。

答案

C · 2h+1 − 1
4.数据结构

答案: B · 一次聚集，即形成长串的被占用槽位

为什么是这个答案

线性探测的步长为 1，因此被占用的连续段会不断增长并合并；双重哈希用第二个哈希函数决定步长，使不同的键探测不同的序列。

答案

B · 一次聚集，即形成长串的被占用槽位
5.图论

答案: k = 3

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

13 − 1 = 12

要去掉的边数

k = 15 − 12 = 3

答案

k = 3
6.图论

答案: 边 BC

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

普里姆算法

1. DF (15)
2. BD (12)
3. BC (7)
4. GC (3)
5. CE (4)
6. AB (9)

边的序号 3

BC

答案

边 BC

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