微分方程
- 指数增长/衰减
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- 半衰期
- k = ln 2 / t½
- 牛顿冷却定律
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- 积分因子
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- 混合槽
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
微分方程：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
积分
- 幂法则
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定积分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 常用积分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲线间的面积
- ∫ab (f − g) dx
方法
- 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
- 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
- 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
- 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。
导数
- 幂法则
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 乘积法则
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商法则
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 链式法则
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 常用导数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
方法
- 识别结构：和、积、商还是复合。
- 对 x 的每个幂应用幂法则。
- 需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
- 化简，如有要求再代入该点求值。
数值方法
- 二分法
- c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
- 牛顿–拉弗森法
- xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
- 线性插值
- y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
- 梯形法则
- T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
- 辛普森法则（n 为偶数）
- S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
- 梯形法则的误差界
- |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
- 欧拉
- yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
- 休恩法
- yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
- RK4
- yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
方法
- 求根：二分法要检查变号，牛顿法要计算 f 和 f′，并在迭代值表中保留六位或更多位数字。
- 求表中的值：在两个相邻的点之间做线性插值。
- 求积分：求出 h = (b − a)/n，列出每个节点处的 f，应用权重（梯形法则为 1, 2, …, 2, 1；n 为偶数时辛普森法则为 1, 4, 2, …, 4, 1），再乘以 h/2 或 h/3。
- 求常微分方程：从 t₀ 出发，用 yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)（欧拉法）或平均斜率（休恩法）逐步前进，每步一行，直到到达所要求的 t。
2练习题
1.微分方程中等
一杯 85 °C 的咖啡放在 22 °C 的房间里。 23 min 后其温度为 42 °C。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 求常数 k，以 min⁻¹ 计。
T0 = 85 °CTa = 22 °CT(23) = 42 °C
k = min⁻¹
2.微分方程困难
求解 y′ + 0.5y = 9e−3t，y(0) = 1。求 y(1)。
y′ + 0.5y = 9e−3ty(0) = 1
y(1) =
3.积分中等
计算 I = ∫28 4/x dx。
f(x) = 4/x[2, 8]
I =
4.积分困难
求抛物线 y = 1 − x² 与 x 轴之间区域的面积 A。
y = 1 − x²
A =
5.导数中等
设 f(x) = (4x + 5)3。求 f′(2)。
f(x) = (4x + 5)3x = 2
f′(2) =
6.导数困难
设 f(x) = x3 + 10.5x2 + 36x + 5。求局部极小值点的 x 坐标 x。
f(x) = x3 + 10.5x2 + 36x + 5
x =
7.数值方法中等
用梯形法则取 n = 6 条窄条，近似计算 ∫02 sin(x²) dx。给出 T。
f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 2]n = 6
T =
8.数值方法困难
对 y′ = t − y，y(0) = 0.5，用欧拉法，取 h = 0.2，估计 y5 ≈ y(1)。
y′ = t − yy(0) = 0.5h = 0.2
y5 =
3溶液
1.微分方程
答案: k = 0.04989 min⁻¹
一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·ekt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e∫p dx 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。
温差之比
e−23k = 20/63
解出 k
k = ln(63/20)/23 = 0.04989 min⁻¹
答案
k = 0.04989 min⁻¹
2.微分方程
答案: y(1) = 2.611
一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·ekt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e∫p dx 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。
积分因子
μ = e0.5t
(e0.5ty)′ = 9e−2.5t
通解
y = 9/(−2.5)·e−3t + C·e−0.5t = −3.6·e−3t + C·e−0.5t
初始条件
1 = −3.6 + C → C = 4.6
求值
y(1) = −3.6·0.04979 + 4.6·0.6065 = 2.611
答案
y(1) = 2.611
3.积分
答案: I = 5.545
定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。
原函数
F(x) = 4·ln x
代入上下限
I = 4·(ln 8 − ln 2) = 4·ln 4 = 5.545
答案
I = 5.545
4.积分
答案: A = 1.333
定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。
零点
1 − x² = 0 → x = ±1
积分
A = [1x − x³/3]−11 = 0.6667 − (−0.6667) = 1.333
答案
A = 1.333
5.导数
答案: f′(2) = 2028
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
链式法则
f′(x) = 3·(4x + 5)2·4
代入
f′(2) = 3·132·4 = 2028
答案
f′(2) = 2028
6.导数
答案: x = −3
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
导数
f′(x) = 3x2 + 21x + 36 = 3·(x2 + 7x + 12)
解 f′(x) = 0
x = −4 或 x = −3
判断哪个是哪个
f″(x) = 6x + 21：在极大值处为负，在极小值处为正。
f″(−4) = −3, f″(−3) = 3
x = −3
答案
x = −3
7.数值方法
答案: T = 0.7795
数值积分：把 [a, b] 分成 n 条宽度为 h = (b − a)/n 的窄条，节点为 x₀ … xₙ。梯形法则：T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]。辛普森法则（n 为偶数）：S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]。梯形法则的误差按 h² 缩小（误差界 (b − a)h²·M/12，其中 M = max|f″|），辛普森法则按 h⁴ 缩小，所以在节点数相同时辛普森法则通常精确得多。
节点与函数值
h = 0.3333
Σ wᵢfᵢ = 0 + 2·0.110883 + 2·0.429956 + 2·0.841471 + 2·0.978656 + 2·0.355842 − 0.756802 = 4.676813
梯形法则
T = (0.3333/2)·4.676813 = 0.7795
答案
T = 0.7795
这个积分没有初等原函数，这正是需要数值方法的情形。
8.数值方法
答案: y5 = 0.4915
y′ = f(t, y) 的数值解：欧拉法沿每一步起点处的斜率前进：yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)。休恩法（改进欧拉法）取起点处斜率与欧拉预测点处斜率的平均：k₁ = f(tₙ, yₙ)，k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)，yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)。经典龙格–库塔法 (RK4) 结合四个斜率：yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)。欧拉法的整体误差与 h 成正比，休恩法与 h² 成正比，RK4 与 h⁴ 成正比。
欧拉法各步
y₁ = 0.5 + 0.2·(−0.5) = 0.4
y₂ = 0.4 + 0.2·(−0.2) = 0.36
y₃ = 0.36 + 0.2·(0.04) = 0.368
y₄ = 0.368 + 0.2·(0.232) = 0.4144
y₅ = 0.4144 + 0.2·(0.3856) = 0.49152
图表
y5 = 0.4915
答案
y5 = 0.4915
精确值为 y(1) = 0.551819。
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